Комплекснозначна функція
функція, областю значень якої є комплексні числа / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Комплекснозначна функція в теорії функцій дійсної змінної — функція, що набуває комплексних значень: .
Комплекснозначна функція | |
Формула |
|
---|---|
Кодомен | множина комплексних чиселd |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Протилежне | дійснозначна функція і комплекснозначна зміннаd |
Таку функцію можна подати у вигляді:
,
де і
— дійсні функції. У цьому випадку функцію
називають дійсною частиною функції
, а
— її уявною частиною. У зв'язку з таким розкладом, на комплекснозначні функції природно переносяться всі поняття, що вводяться для дійснозначних функцій, зокрема, комплекснозначна функція вважається неперервною (диференційовною, аналітичною, вимірною, гармонійною), якщо її дійсна і уявна частини є неперервними (диференційовними, аналітичними, вимірними, гармонійними) функціями. Інтеграл комплекснозначної функції
визначається так:
.
Однак не всі властивості, виконані для дійсної й уявної частини одночасно, можна поширити на комплекснозначні функції. Зокрема, для комплекснозначних функцій у загальному випадку не діє теорема Ролля, наприклад, похідна комплекснозначної функції дійсного аргументу:
на інтервалі не перетворюється на нуль, хоча в кінцевих точках відрізка значення функції рівні
.