Додавання матриць

У математиці, додавання матриць — це операція додавання двох матриць, що розраховується за допомогою додавання відповідних елементів. Однак існують й інші операції, які також можуть розглядатися як додавання матриць: пряма сума^[⇨] та сума Кронекера.

Процес додавання

Для додавання дві матриці повинні мати відповідну кількість рядків та стовпчиків.^[1] Сумою двох матриць A та B буде матриця з такою ж кількістю рядків та стовпців, що й у початкових матрицях. Сума A та B, що записується як A + B, розраховується за допомогою додавання відповідних елементів A та B:^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&8\\0&7\\9&8\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\2&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&8+0\\0+2&7+2\\9+0&8+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&8\\2&9\\9&9\end{bmatrix}}}$

Також можна відняти одну матрицю від іншої, якщо вони мають однаковий розмір. A − B розраховується як віднімання відповідних елементів A та B. Матриця, що утвориться в результаті, буде мати такий самий розмір, як і A та B. Наприклад:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\1&2\\9&8\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&5\\0&5\\9&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&7-5\\1-0&2-5\\9-9&8-7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&-3\\0&1\end{bmatrix}}}$

Основні властивості операцій додавання матриць:

• A + B = B + A (комутативність).
• A + (B + C) = (A + B) + C (асоціативність).
• A + 0 = A, при будь-якій матриці. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A), така, що A + (-A) = 0.

Пряма сума

Іншою операцією, що використовується рідше, є пряма сума (позначається ⊕). Зверніть увагу, що сума Кронекера також позначається ⊕; зрозуміти, яка операція мається на увазі, зазвичай можна з контексту. Пряма сума будь-якої пари матриць A розміру m × n та B розміру p × q — це матриця розміру (m + p) × (n + q), що визначається як^[4][2]

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Наприклад,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Прямою сумою матриць є спеціальний вид блочної матриці, зокрема пряма сума квадратних матриць — блочна діагональна матриця.

Загалом, пряма сума n матриць визначається як:^[2]

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}={\rm {diag}}(\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3}\cdots \mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}$

де нулі є фактично блоками нулів, тобто нульовими матрицями.

Сума Кронекера

Докладніше: Добуток Кронекера

Сума Кронекера відрізняється від прямої суми, але також позначається ⊕. Вона розраховується за допомогою добутка Кронекера ⊗ та звичайного додавання матриць. Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і ${\displaystyle I_{k}}$ — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера ${\displaystyle \oplus }$ як

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

Примітки

1. Elementary Linear Algebra by Rorres Anton 10e p53
2. Lipschutz та Lipson.
3. Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
4. Weisstein, Eric W. Matrix Direct Sum(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-154352-1.
• Додавання матриць на PlanetMath.(англ.)
• Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices [Архівовано 26 квітня 2012 у Wayback Machine.] (англ.)
• Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations [Архівовано 9 березня 2017 у Wayback Machine.] (англ.)
• Matrix Algebra and R (англ.)