![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/BSD_data_plot_for_elliptic_curve_800h1.svg/languk-640px-BSD_data_plot_for_elliptic_curve_800h1.svg.png&w=640&q=50)
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Гіпотеза Берча — Свіннертона-Дайера описує множину раціональних розв'язків рівнянь, які визначають еліптичною кривою. Це є відкритою проблемою у теорії чисел і широко визнана як одна з найскладніших математичних проблем. Гіпотеза була вибрана в якості однієї з семи проблем тисячоліття, включених Математичним інститутом Клея до списку задач за які запропонована премію в розмірі 1 000 000 доларів за перше правильне доведення.[1] Гіпотеза названа на честь математиків Браяна Берча[en] та Пітера Свіннертона-Даєра[en], які сформулювали гіпотезу в першій половині 1960-х років за допомогою машинних обчислень. Станом на 2016 рік доведено лише окремі випадки гіпотези.
Проблеми тисячоліття |
---|
Рівність класів P і NP |
Гіпотеза Годжа |
Гіпотеза Пуанкаре* |
Гіпотеза Рімана |
Квантова теорія Янга — Мілса |
Рівняння Нав'є — Стокса |
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра |
* доведені |
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/BSD_data_plot_for_elliptic_curve_800h1.svg/320px-BSD_data_plot_for_elliptic_curve_800h1.svg.png)
У пошуках відповіді на питання — за яких умов діофантови рівняння у вигляді алгебраїчних рівнянь мають рішення в цілих і раціональних числах, Брайан Берч і Пітер Свіннертона-Дайер на початку 1960-х років припустили, що ранг еліптичної кривої
над
рішень дорівнює порядку нуля дзета-функції Хассе — Вейля
в точці
. Більш детально, гіпотеза стверджує, що існує ненульова межа
, де значення
залежить від тонких арифметичних інваріантів кривих.
Найважливішим частковим результатом станом на 2011 рік залишається доведене в 1977 році Джоном Коутс і Ендрю Уайлсом твердження, справедливе для великого класу еліптичних кривих про те, що якщо крива містить нескінченно багато раціональних точок, то
.
Гіпотеза є єдиним відносно простим загальним способом обчислення рангу еліптичних кривих.