Вимірний простір

Вимірний простір використовується в математиці, зокрема в теорії міри, теорії імовірності.

Це пара об'єктів ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$, де ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$ простір елементарних подій, або просто елементарний простір, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — σ-алгебра елементарних подій задана на ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$, або просто ${\displaystyle \sigma }$ -алгебра задана на ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$.

Вимірний простір служить базою для утворення імовірнісного простору, останній утворюється заданням на вимірному просторі імовірнісної міри ${\displaystyle P}$. Задання вимірного простору є одним кроком в межах аксіоматичного підходу до теорії імовірності запропонованого Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. Аксіоматичний підхід в теорії імовірностей найбільш продуктивний, в сенсі що в рамках цього підходу найлегше можна формулювати і доводити результати, легко пристосовувати теорію імовірностей до потреб інших наук, наприклад, фізики, фінансів тощо.

Елементи ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$ називаються простими або елементарними подіями, а підмножини просто подіями. ${\displaystyle \sigma }$-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ складається з підмножин ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$.

Подія ${\displaystyle A\subset \Omega }$ називається вимірною, якщо ${\displaystyle A\subset {\mathcal {F}}}$

Приклади

1. Тривіальним вимірним простором є простір ${\displaystyle (\Omega ,(\emptyset ,\Omega ))}$. Тобто ${\displaystyle \sigma }$-алгебра в даному випадку складається з двох елементів: порожньої множини і простору елементарних подій.
2. Нехай маємо монету. Підкидання монети передбачає дві елементарні події: Г — випадання герба і Ч — випадання числа. Тобто маємо простір елементарних подій ${\displaystyle \displaystyle \Omega =(}$Г, Ч${\displaystyle \displaystyle )}$, і розглянемо ${\displaystyle \sigma }$-алгебру всіх підмножин ${\displaystyle \displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\emptyset ,\Omega ,}$ Г, Ч${\displaystyle \displaystyle \}=\{\emptyset ,\{}$Г, Ч ${\displaystyle \displaystyle \},}$ Г, Ч${\displaystyle \displaystyle \}}$

Див. також

• Простір елементарних подій
• Імовірнісний простір
• Аксіоми Колмогорова