Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Визначення

Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.

Одиницею кільця множин ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ називається множина E, що належить до ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ і для довільної множини ${\displaystyle A\in {\mathfrak {G}}}$ виконується:

${\displaystyle \ A\cap E=A}$.

σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},\ldots }$ містить також їх об'єднання

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$.

δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},\ldots }$ містить також їх перетин:

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}}$.

Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.

Властивості

Для довільної непорожньої системи множин ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {B}}({\mathfrak {G}})}$, що містить ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$.

Така σ-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {B}}({\mathfrak {G}})}$ називається мінімальною.

Приклади

Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.

Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів ${\displaystyle [a;b]}$.

Прості приклади на основі множин

Нехай X - довільна множина.

• Сімейство множин що складається лише з порожньої множини і множини X, називається мінімальною, або тривіальною σ-алгеброю над X.
• Булеан X, називають дискретною σ-алгеброю.

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Міра множини
• Фільтрація (випадкові процеси)