Булеве кільце

Булеве кільце — кільце з одиницею, всі елементи якого є ідемпотентами. Тобто x² = x для всіх елементів кільця.

Всі булеві кільця є комутативними кільцями характеристики 2, оскільки x + x = 0.

Доведення: 0 = (x + x)² - (x + x)= x + x.

Зв'язок з булевою алгеброю

Назва «булеве кільце» пояснюється тим, що кожне булеве кільце еквівалентне булевій алгебрі і навпаки:

• Операції булевого кільця:

  ${\displaystyle a+b=(a\land {\neg }b)\lor (b\land {\neg }a)}$

  ${\displaystyle ab=a\land b}$

• Операції булевої алгебри

  ${\displaystyle a\lor b=a+b+ab}$

  ${\displaystyle a\land b=ab}$

  ${\displaystyle \lnot a=1+a}$

• Нуль кільця збігається з 0 булевої алгебри, нейтральний елемент множення збігається з 1 булевої алгебри.
• Відображення однієї булевої алгебри в іншу є гомоморфізмом тоді і тільки тоді, коли гомоморфізмом буде відображення відповідних кілець. Тобто, категорії булевих кілець та булевих алгебр є еквівалентними.
• Ідеал, простий ідеал, максимальний ідеал (теорія кілець) булевого кільця збігається з ідеалом простим ідеалом, максимальним ідеалом (теорія порядку) його булевої алгебри.

Представлення булевих алгебр

Докладніше: Теорема Стоуна про представлення булевих алгебр

Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини. Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.

Булеве кільце еквівалентне полю множин.

Див. також

• Булева алгебра з двома елементами