Інцидентність (геометрія)
бінарне відношення в геометрії / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Шановний Wikiwand AI, Давайте зробимо це простіше, відповівши на ключові запитання:
Чи можете ви надати найпопулярніші факти та статистику про Інцидентність (геометрія)?
Підсумуйте цю статтю для 10-річної дитини
Відношення інцидентності — це бінарне відношення між двома різними типами об'єктів. Воно включає поняття, які можна виразити такими фразами як «точка лежить на прямій» або «пряма належить площині». Найістотніше відношення інцидентності — між точкою P і прямою l яке записується як P I l. Якщо P I l пара (P, l) називається прапором. У розмовній мові існує багато виразів, що описують відношення інцидентності (наприклад, пряма проходить через точку, точка лежить на площині тощо), проте термін «інцидентна» кращий, оскільки не передбачає додаткових супутніх понять і може бути використаний симетрично, відбиваючи властивість симетричності відношення. Твердження, такі як «пряма l1 перетинає пряму l2» також є твердженнями про відношення інцидентності, але в цьому випадку простіше сказати: «існує точка P, інцидентна обом прямим l1 і l2». Коли один тип об'єктів можна розглядати як множину об'єктів іншого типу (а саме, площина є множиною точок), відношення інцидентності можна розглядати як включення.
Твердження вигляду «будь-які дві прямі на площині перетинаються» називаються твердженнями інцидентності. Такі твердження істинні в проєктивних площинах, але хибні на евклідових, де прямі можуть бути паралельними. Історично, проєктивну геометрію запропоновано для того, щоб твердження інцидентності було істинним без винятків. З точки зору синтетичної геометрії проєктивну геометрію слід створювати, використовуючи такі твердження як аксіоми. Найістотніший такий підхід для проєктивних площин, зважаючи на істинність теореми Дезарга для вищих розмірностей.
Аналітичний підхід, навпаки, визначає проєктивний простір на основі лінійної алгебри з використанням однорідної системи координат. Відношення інцидентності виводиться з такого базового результату для векторних просторів: якщо дано підпростори U і W векторного простору V (скінченної розмірності), розмірність їх перетину дорівнює dim U + dim W − dim (U + W) Якщо взяти до уваги, що геометрична розмірність проєктивного простору P(V), асоційованого з V, дорівнює dim V − 1 і що геометрична розмірність будь-якого підпростору додатна, базове твердження інцидентності в цих умовах набуде вигляду: лінійні підпростори L і M проєктивного простору P перетинаються за умови, що dim L + dim M ≥ dim P.[1]
Подальші розділи стосуються проєктивних площин, визначених над полями. Такі площини часто позначають як PG(2, F) або P2F, де F — поле. Однак ці міркування можна природним чином поширити на простори вищих розмірностей, а поле можна замінити тілом з урахуванням, що в цьому випадку множення не буде комутативним.