Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
У геометрії тетраедр Ріва — це многогранник в тривимірному просторі з вершинами в точках , , і , де — натуральне число. Він названий на честь Джона Ріва, який використав його, щоб показати, що не існує багатовимірних узагальнень теореми Піка.
Кожна вершина тетраедра Ріва лежить на фундаментальній точці гратки (точка в ℤ3). Жодна інша точка гратки не лежить на поверхні чи усередині тетраедра. Об'єм тетраедра Ріва — . У 1957 році Рів використав цей тетраедр, щоб показати, що існують тетраедри з чотирма точками гратки як вершинами і які не містять інших точок гратки, і при цьому мають значно більші об'єми.[1]
У двовимірному просторі площа кожного многогранника з вершинами на гратки визначається за допомогою формули через кількості точок гратки у його вершинах, на гранях та всередині многогранника відповідно до теореми Піка. Тетраедр Ріва показує, що не може бути відповідної формули об'єму в розмірності три і більше. Будь-яка така формула не змогла б відрізнити один від одного тетраедри Ріва з різними варіантами вибору , хоча їх об'єми різні.[1]
Рів показав, що попри негативний результат, можна отримати іншу формулу об'єму многогранника через кількість точок гратки в многограннику, кількість точок тоншої гратки в многограннику та характеристику Ейлера для многогранника.[1][2]
Многочлен Ергарта для будь-якого многогранника на ґратці визначає число точок ґратки, що він містить, при масштабуванні у натуральне число разів. Многочлен Ергарта для тетраедра Ріва висоти має вигляд:[3]
Таким чином, коефіцієнт при у многочлені Ергарта буде від'ємний, якщо . Цей приклад показує, що многочлени Ергарта іноді можуть мати від'ємні коефіцієнти.[3]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.