Теорія розсіювання

Математична теорія розсіювання — розділ теорії збурень. У теорії збурень докладна інформація про "незбурений" оператор ${\displaystyle H_{0}}$ дозволяє робити висновок про інший оператор ${\displaystyle H}$, якщо ${\displaystyle H_{0}}$ та ${\displaystyle H}$ мало відрізняються один від одного. У фізичних термінах гамільтоніан ${\displaystyle H_{0}}$ описує "вільну" систему (наприклад, не взаємодіючих одна із одною квантових частинок), а "повний" гамільтоніан ${\displaystyle H}$ - реальну систему із врахуванням взаємодії.

Загальні відомості

Теорія розсіювання займається лише будовою абсолютно неперервного спектра й вирішує дві пов'язані між собою задачі.

Перша - з них - дослідження поведінки при більших часах рішень нестаціонарного рівняння Шредінгера

${\displaystyle i{\frac {du}{dt}}=Hu,\quad \quad u(0)=f.}$

При цьому асимпотика за ${\displaystyle t\rightarrow \pm \infty }$ рішень цього рівняння із повним гамільтоніаном ${\displaystyle H}$ вивчається у термінах рішень рівняння із "вільним" оператором ${\displaystyle H_{0}}$.

Друга задача полягає у віднаходженні умов унітарної еквівалентності операторів ${\displaystyle H_{0}}$ та ${\displaystyle H}$, тобто їх абсолютно неперервних частин ${\displaystyle H_{0}^{(a)}}$ та ${\displaystyle H^{(a)}.}$

Нехай ${\displaystyle H_{0}}$ та ${\displaystyle H}$ - самоспряжені оператори у гільбертовому просторі ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$ Тоді вищенаведене рівняння має єдине рішення ${\displaystyle u(t)=\exp(-iHt)f,}$ а рішення такого ж рівняння із оператором ${\displaystyle H_{0}}$ дається формулою ${\displaystyle u_{0}(t)=\exp(-iH_{0}t)f_{0}.}$З точки зору теорії розсіювання функція ${\displaystyle u(t)}$ має "вільну" асимпотику за ${\displaystyle t\rightarrow \pm \infty ,}$ якщо для підходячого початкового даного ${\displaystyle f_{0}^{(\pm )},}$ відшукуваного по ${\displaystyle f,}$ виконано

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \pm \infty }||u(t)-u_{0}^{\pm }(t)||=0,\quad \quad u_{0}^{\pm }(t)=\exp(-iHt)f_{0}^{\pm }.}$

Це співвідношення приводить до зв'язку між відповідними початковими даними ${\displaystyle f_{0}^{(\pm )}}$ та ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=\lim _{t\rightarrow \pm \infty }\exp(iHt)\exp(-iH_{0}t)f_{0}^{\pm }.}$

Основне положення теорії розсіювання полягає у тому, що за достатньо широких припущень про пару ${\displaystyle H_{0}}$ та ${\displaystyle H}$ для початкового даного ${\displaystyle f}$ з абсолютно неперервного простору ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{(a)}}$ оператора ${\displaystyle H}$ функція ${\displaystyle u(t)}$ виходить на вільну асимпотику. ^[1]

Див. також

• Теорія збурень
• Матриця розсіяння

Примітки

1. Д.Р.Яфаев - Математическая теория рассеяния. Общая теория.