Симетричний граф

В теорії графів, граф G є симетричним (або дуго-транзитивним) якщо, для будь-яких пар суміжних вершин u₁—v₁ і u₂—v₂ графа G, існує автоморфізм

f : V(G) → V(G)

Граф Петерсена — (кубічний) симетричний граф. Будь-яка пара суміжних вершин може бути відображена на іншу через автоморфізм, бо будь-яке 5-вершинне кільце може бути відображене в будь-яке інше

такий, що

f(u₁) = u₂ and f(v₁) = v₂.^[1]

Інакше кажучи, граф симетричний, якщо група його автоморфізмів діє транзитивно над впорядкованими парами суміжних вершин (тобто, над орієнтованими ребрами).^[2] Такий граф іноді називають 1-дуго-транзитивний^[2] або прапорцево-транзитивний.^[3]

За визначенням (ігноруючи u₁ і u₂), симетричний граф без ізольованих вершин має також бути вершинно-транзитивним.^[1] Завдяки визначенню через відображення одного ребра на інше, симетричний граф має також бути реберно-транзитивним. Однак, реберно-транзитивний граф не має бути симетричним, бо a—b можуть відбиватись в c—d, але не в d—c. Наприклад, напівсиметричний граф є реберно-транзитивним і регулярним, але не вершинно-транзитивним.

Види графів за їхніми автоморфізмами
відстанево-транзитивний	${\displaystyle \leftarrow }$	сильно регулярний
${\displaystyle \downarrow }$
симетричний (дуго-транзитивний)	${\displaystyle \leftarrow }$	t-транзитивний, t ≥ 2
${\displaystyle \downarrow }$(якщо зв'язний)
вершинно- та реберно-транзитивний[en]	${\displaystyle \rightarrow }$	реберно-транзитивний і регулярний	${\displaystyle \rightarrow }$	реберно-транзитивний
${\displaystyle \downarrow }$		${\displaystyle \downarrow }$
вершинно-транзитивний	${\displaystyle \rightarrow }$	регулярний
${\displaystyle \uparrow }$
граф Келі		кососиметричний[en]		асиметричний

Таким чином, кожний зв'язний симетричний граф має бути і вершинно-транзитивним, і реберно-транзитивним, зворотне твердження теж правильне для графів непарних степенів.^[3] Однак, для парних степенів, існують зв'язні вершинно-транзитивні і реберно-транзитивні, але не симетричні графи.^[4] Такі графи називаються напівтранзитивними^[en].^[5] Найменший зв'язний напівтранзитивний граф це граф Хольта^[en], зі степенем 4 і 27 вершинами.^[1][6] Деякі автори використовують термін «симетричний граф» для позначення графів, що вершинно-транзитивні і реберно-транзитивні, радше ніж дуго-транзитивні. Таке визначення охоплює напівтранзитивні графи, які виключені визначенням поданим вище.

У відстанево-транзитивного графа замість розглядання пар суміжних вершин (тобто вершин на відстані 1), визначення розглядає дві пари вершин, кожна з однаковою відстанню між вершинами. Такий граф автоматично симетричний за визначенням.^[1]

Визначимо t-дугу як послідовність з t+1 вершин таких, що будь-які дві послідовні вершини суміжні, з допустимою відстанню між вершинами, що повторюються, більшою за два кроки. T-транзитивний граф це такий граф, що група автоморфізмів діє транзитивно на t-дугах, але не на (t+1)-дугах. Через те, що 1-дуги це просто ребра, кожний симетричний граф степені 3 або більше має бути t-транзитивний для деякого t, і значення t можна використати для подальшої класифікації симетричних графів. Куб є 2-транзитивним, наприклад.^[1]

Приклади

Поєднання умови симетричності з накладанням обмеження кубічності на граф (тобто всі вершини мають степінь 3) породжує дуже сильну умову, і такі графи становляться досить рідкісними, щоб бути занесеними в список. Перепис Фостера (англ. Foster census) і його розширення подають такі списки.^[7] Перепис Фостера був початий в 1930 році Рональдом Фостером коли він працював у Bell Labs,^[8] і в 1988 (коли Фостеру було 92^[1]) складений на той момент його перелік (список всіх кубічних симетричних графів до 512 вершин) був опублікованим у формі книги.^[9] Перші тринадцять елементів цього списку це кубічні симетричні графи до 30 вершин^[10][11] (десять з них також відстанево-транзитивні; винятки позначені):

Вершин	Діаметр	Обхват	Граф	Примітки
4	1	3	Повний граф K4	відстанево-транзитивний, 2-transitive
6	2	4	Повний двочастковий граф K3,3	відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
8	3	4	Вершини і ребра куба	відстанево-транзитивний, 2-транзитивний
10	2	5	Граф Петерсена	відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
14	3	6	Граф Хівуда	відстанево-транзитивний, 4-транзитивний
16	4	6	Граф Мебіуса — Кантора	2-транзитивний
18	4	6	Граф Паппуса	відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
20	5	5	Вершини і ребра додекаедра	відстанево-транзитивний, 2-транзитивний
20	5	6	Граф Дезарга	відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
24	4	6	Граф Науру (узагальнений граф Петерсена G(12,5))	2-транзитивний
26	5	6	Граф F26A[11]	1-транзитивний
28	4	7	Граф Коксетера	відстанево-транзитивний, 3-транзитивний
30	4	8	Граф Тютте-Коксетера	відстанево-транзитивний, 5-транзитивний

Іншими добре відомими кубічними симетричними графами є граф Діка, граф Фостера і граф Біґґса–Сміта. Десять відстанево-транзитивних графів, які перелічені вище, разом із графом Фостера і графом Біґґса—Сміта, є єдиними кубічними відстанево-транзитивними графами.

Некубічні симетричні графи включають циклічні графи (степеня 2), повні графи (степеня 4 або вище, коли вони мають 5 або більше вершин), графи гіперкуби (степеня 4 або вище, коли вони мають 16 або більше вершин), і графи утворені вершинами і ребрами октаедра, ікосаедра, кубооктаедра та ікосододекаедра. Граф Радо є прикладом симетричного графа з нескінченною кількістю вершин і нескінченним степенем.

Примітки

1. Biggs, Norman (1993). Algebraic Graph Theory (вид. 2nd). Cambridge: Cambridge University Press. с. 118—140. ISBN 0-521-45897-8.
2. Godsil, Chris; Royle, Gordon (2001). Algebraic Graph Theory. New York: Springer. с. 59. ISBN 0-387-95220-9.
3. Babai, L (1996). Automorphism groups, isomorphism, reconstruction. У Graham, R; Groetschel, M; Lovasz, L (ред.). Handbook of Combinatorics. Elsevier. Архів оригіналу за 11 червня 2010. Процитовано 10 березня 2011.
4. Bouwer, Z. «Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs.» Canad. Math. Bull. 13, 231—237, 1970.
5. Gross, J.L. and Yellen, J. (2004). Handbook of Graph Theory. CRC Press. с. 491. ISBN 1584880902.
6. Holt, Derek F. (1981). A graph which is edge transitive but not arc transitive. Journal of Graph Theory. 5 (2): 201—204. doi:10.1002/jgt.3190050210..
7. Marston Conder, Trivalent symmetric graphs on up to 768 vertices [Архівовано 15 червня 2011 у Wayback Machine.], J. Combin. Math. Combin. Comput, vol. 20, pp. 41—63
8. Foster, R. M. «Geometrical Circuits of Electrical Networks.» Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 51, 309—317, 1932.
9. «The Foster Census: R.M. Foster's Census of Connected Symmetric Trivalent Graphs», by Ronald M. Foster, I.Z. Bouwer, W.W. Chernoff, B. Monson and Z. Star (1988) ISBN 0-919611-19-2
10. Biggs, p. 148
11. Weisstein, Eric W., «Cubic Symmetric Graph [Архівовано 5 січня 2011 у Wayback Machine.]», from Wolfram MathWorld.