Поліноми Ерміта

Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів^[1] їх в 1864 році.

Ортогональні поліноми
Ерміта
Відкриті	Шарлем Ермітом в 1864 році
Формула	${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)}$
Диференціальне рівняння	${\displaystyle \ y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0}$
Визначені на	${\displaystyle \ [-\infty ,+\infty ]}$
Вага	${\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}$
Норма	${\displaystyle {\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}$
Примітки	В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як ${\displaystyle H_{n}^{*}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{x^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle H_{n}^{*}(x)=2^{\frac {n}{2}}H_{n}({\sqrt {2}}x)}$

Визначення

Графіки поліномів Ерміта порядку ${\displaystyle n=0,1,...,5}$

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів ${\displaystyle H_{n}(x)}$,${\displaystyle n=0,1,...}$, що задовольняють співвідношенню:
${\displaystyle e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$,
з якого випливає
${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)}$.
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
${\displaystyle H_{n}^{*}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{x^{2}}}\right)}$.
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірнісними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

${\displaystyle H_{n}^{*}(x)=2^{\frac {n}{2}}H_{n}({\sqrt {2}}x)}$.
В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

${\displaystyle H_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle H_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1\,}$

${\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x\,}$

${\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}$

${\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}$

${\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}$

${\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}$

${\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}$

${\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}$

${\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}$

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд ${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{\frac {(-1)^{j}}{2^{j}}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}x^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,}$

Властивості

Поліном ${\displaystyle H_{n}(x)}$ містить члени лише тієї ж парності, що й саме число ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots }$.

При ${\displaystyle x=0}$ мають місце такі співвідношення:

${\displaystyle H_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,\ldots }$.

Рівняння ${\displaystyle H_{n}(x)=0}$ має ${\displaystyle n}$ дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини ${\displaystyle {\sqrt {n(n-1)/2}}}$. Корені полінома ${\displaystyle H_{n}(x)=0}$ чергуються з коренями полінома ${\displaystyle H_{n+1}(x)=0}$.

Поліном ${\displaystyle H_{n}(x)}$ можна представити у вигляді визначника матриці ${\displaystyle n\times n}$:

${\displaystyle H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}$

Формула додавання

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

${\displaystyle {\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu$ !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.}

Частковими випадками такої формули є такі:

• ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1}$, ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$. Тоді

${\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu$ !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)} .

• ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=1}$, ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y}$. Тоді

${\displaystyle 2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu$ !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{r}(x)H_{s}(x)} .

Диференціювання та рекурентні співвідношення

Похідна ${\displaystyle k}$-го порядку від полінома Ерміта ${\displaystyle H_{n}(x)}$, ${\displaystyle n\geq k}$ також є поліномом Ерміта:
${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,}$
звідки випливає співвідошення для першої похідної
${\displaystyle H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=nH_{n-1}(x)}$
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

${\displaystyle H_{n}(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~n\geq 2}$

Ортогональність

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі ${\displaystyle ]-\infty ,+\infty [}$ з вагою ${\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$,

де ${\displaystyle \delta _{mn}}$ — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого ${\displaystyle p}$ справедливий запис

${\displaystyle {\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{k=0}^{k\leq p/2}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{p-2k}(x).}$

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)}$, що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a_{n+2k},~~~a_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A_{n+2k}}$

Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},}$

де ${\displaystyle {}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)}$ — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку, ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{p}c_{k}e^{\alpha _{k}x},}$ можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{p}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{\frac {\alpha _{k}^{2}}{2}}~.}$

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

${\displaystyle \cosh {tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sinh {tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),}$

${\displaystyle \cos {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sin {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),}$

Повнота

Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {H_{i}(x)H_{i}(y)}{i!2^{i}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій^[2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$

де δ — дельта-функція Дірака, (ψ_n) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\mathrm {exp} \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}\,-\,{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$

яку можна еквівалентно записати так

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\mathrm {e} ^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$

Функція (x, y) → E(x, y; u) є густиною для міри Гауса на R² яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

${\displaystyle \left\langle \left(\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}\right),g\right\rangle =\int \!\!\int E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\rightarrow \int f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x=\langle f,g\rangle ,}$

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L²(R), тобто

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$

Щоб довести вищенаведену рівність для E(x, y; u), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}\,\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}x^{2}/4}=\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/\rho ^{2}}\,\mathrm {d} s,\quad \rho >0.}$

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\Bigl (}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s{\Bigr )}=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}\,\mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s.}$

З цим представленням для H_n(x) і H_n(y), можна бачити що

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)\,\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})/2}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}{\Bigr )}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int \mathrm {e} ^{-ust/2}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}$

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\qquad \qquad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$

Диференціальні рівняння

Поліноми Ерміта ${\displaystyle H_{n}(x)}$ є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

${\displaystyle y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0\,}$

Якщо ${\displaystyle n}$ є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

${\displaystyle y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)\,}$,

де ${\displaystyle A,B}$ — довільні сталі, а функції ${\displaystyle h_{n}(x)}$ називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій ${\displaystyle e^{x^{2}/2}}$ та ${\displaystyle \int _{0}^{x}e^{z^{2}/2}dz}$.

Представлення

Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

${\displaystyle H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{zx-z^{2}/2}}{z^{n+1}}}\,dz}$

де ${\displaystyle \Gamma }$ — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

${\displaystyle H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy}$.

Зв'язок з іншими спеціальними функціями

• Зв'язок з функцією Куммера:

  ${\displaystyle H_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!}}x~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$

• Зв'язок з поліномами Лаґерра:

  ${\displaystyle H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2}/2)\,\!}$

• Твірна функція поліномів Ерміта має вигляд: ${\displaystyle g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}].}$ Для цієї функції ${\displaystyle \exp(x^{2})\exp(-(1-x)^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}t^{n}.}$ Диференціювання ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}t^{n}}$ разів ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle t}$ для лівої частини дає ${\displaystyle \exp(x^{2}){\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\exp[-(t-x)^{2}]=\exp(x^{2})(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}\exp[-(t-x)^{2}],}$ а праворуч ${\displaystyle H_{n}(x)+H_{n+1}(x)t+H_{n+2}(x)t^{2}+...}$ Вважаючи ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\exp(x^{2}){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\exp(-x^{2}),}$ оскільки ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\exp[-(t-x)^{2}]={\frac {\partial }{\partial x}}\exp[-(t-x)^{2}].}$ Таким чином, ${\displaystyle n}$-диференціювання по ${\displaystyle x}$ експоненційної функції ${\displaystyle \exp(-x^{2})}$ приводить до поліномів Ерміта ${\displaystyle H_{n}(x).}$
• Рекурентне співвідношення. Продиференціюймо ${\displaystyle g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}]}$ по ${\displaystyle t:}$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial i}}=-2(t-x)g(x,t),}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{(n-1)!}}t^{n-1}+2(t-x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}=0,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[{\frac {H_{n+1}(x)}{n!}}-2x{\frac {H_{n}(x)}{n!}}+{\frac {2H_{n-1}(x)}{(n-1)!}}]t^{n}=0,}$

та отримаймо

${\displaystyle H_{n+1}(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x)=0.}$

Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння

${\displaystyle H_{n}^{\prime \prime }(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n}=0,\quad \quad n={\overline {0,1,2,...,}}}$

яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку ${\displaystyle H_{n}^{\prime \prime }(x)+2xH_{n}^{\prime }(x)+2nH_{n}(x)=0.}$

Застосування

• В квантовій механіці поліноми Ерміта входять до виразу хвильової функції квантового гармонічного осцилятора. В безрозмірних змінних рівняння Шредінгера, яке описує стани квантового гармонічного осцилятора, має вигляд:

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _{n}(x)}$.

Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням ${\displaystyle \lambda _{n}=2n+1}$. Нормовані на одиницю вони записуються як

${\displaystyle \psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\dots ~}$.

Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта ${\displaystyle H_{n}^{*}(x)}$.

• Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності ${\displaystyle u_{t}-u_{xx}=0}$ на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції ${\displaystyle u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha ^{2}t}}$. Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle e^{\alpha x+\alpha ^{2}t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}}P_{n}(x,t)}$,

то функції ${\displaystyle P_{n}(x,t)}$, що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовольняють початковій умові ${\displaystyle P_{n}(x,t=0)=x^{n}}$, виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:

${\displaystyle P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t}})^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4t}}}y^{n}dy}$.

Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

• В теорії ймовірностей поліноми Ерміта входять до так званих рядів Еджворта, які використовуються для наближення функції густини ймовірності через її кумулянти.

Примітки

1. Hermite C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1864. — Т. 58. — С. 93-100; 266-273., передруковано також в C. Hermite (1908). Oeuvres complètes (французька) . tome 2. Paris. с. 293—308. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |посилання= та |авторлінк= (довідка)
2. Wiener, 1958

Література

• Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
• Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press.
• Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). IX. Функции математической физики (російська) . Москва: Физматгиз. с. 62-70. {{cite book}}: Cite має пусті невідомі параметри: |пубрік=, |посилання=, |авторлінк=, |пубдата= та |пубмісяць= (довідка)

Зовнішні посилання

• Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial [Архівовано 21 липня 2008 у Wayback Machine.] (англ.) на сайті MathWorld [Архівовано 28 червня 2017 у Wayback Machine.].
• Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews

Ця стаття належить до добрих статей української Вікіпедії.