Loading AI tools
Математична модель З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Модель ціноутворення опціонів Блека — Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — це модель, що визначає теоретичну ціну на європейські опціони, яка передбачає, що якщо базовим активом торгують на ринку, то його ціна неявним чином встановлюється самим ринком. Дана модель широко використовується на практиці, крім усього іншого, може використовуватися для оцінки усіх похідних паперів, включаючи варанти, конвертуємі цінні папери, та навіть для оцінки власного капіталу фінансово залежних фірм.
Згідно моделі Блека-Шоулза ключовим елементом визначення вартості опціону є очікувана волатильність базового активу. Залежно від коливання активу, ціна на нього зростає або знижується, що прямопропорційно впливає на вартість опціону. Таким чином, якщо відома вартість опціону, то можна визначити рівень очікуваної ринком волатильності[1].
Формула моделі оцінки опціонів уперше була виведена Блеком Фішером[ru] і Майроном Шоулзом у 1973 році в статті «Оцінка опціонів та комерційних облігацій» (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). Їх дослідження базувалися на попередніх роботах Джека Трейнора, Пола Самуельсона, Джеймса Бонеса, та Едварда Торпа[en] і розроблялися в період швидкого зростання опціонної торгівлі.
Для того щоб вивести свою модель ціноутворення опціонів, Блек і Шоулз зробили наступні припущення:
Висновок моделі ґрунтується на концепції безризикового хеджування. Купуючи акції й одночасно продаючи опціони call на ці акції, інвестор може конструювати безризикову позицію, де прибутки по акціях будуть точно компенсувати збитки по опціонах, і навпаки.
Безризикова хеджована позиція повинна приносити прибуток за ставкою, що дорівнює безризиковій відсотковій ставці, в іншому випадку існувала б можливість вилучення арбітражного прибутку та інвестори, намагаючись отримати переваги від цієї можливості, приводили б ціну опціону до рівноважного рівня, який визначається моделлю.
Ціна (європейського) опціону call:
Ціна (європейського) опціону put:
Позначення:
Для характеристики чутливості ціни (премії) опціону до зміни тих чи інших величин застосовують різні коефіцієнти, які називають «греками». Назва іде від грецького алфавіту, буквами якого позначаються ці коефіцієнти (за винятком «веги»). «Греки» в рамках моделі Блека-Шоулза обчислюються явним чином:
Цікаво, що формули гамма і вега однакові для опціонів put і call, що є логічним висновком теорії паритету опціонів put і call.
Наприклад, знання коефіцієнтів «дельта» і «гамма» дозволяють оцінити зміну ціни (премії) опціону при зміненні ціни фінансового інструменту , що лежить в основі опціону:
Ця формула виходить за допомогою розкладання в ряд Тейлора ціни опціону . Аналогічно, чим більше «тета», тим швидше відбувається тимчасової розпад опціону, і т. д.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.