Інтегральна показникова функція

Не плутати з іншими інтегралами експоненціальних функцій.

У математиці експоненціальний інтеграл Ei — це спеціальна функція на комплексній площині. Він визначається як певний визначений інтеграл від відношення експоненціальної функції та її аргументу.

Означення

Ділянка функції ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ (згори) та функції ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ (знизу).

Для дійсних ненульових значень ${\displaystyle x}$ експоненціальний інтеграл Ei(${\displaystyle x}$) визначається як

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int \limits _{-x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,{\rm {d}}t}$.

Алгоритм Ріша показує, що Ei не є елементарною функцією. Вищенаведене означення може бути використане для додатних значень ${\displaystyle x}$, але інтеграл слід розуміти у термінах головного значення за Коші через особливість підінтегральної функції в нулі.

Для комплексних значень аргументу означення стає неоднозначним через точки розгалуження у 0 та ${\displaystyle \infty }$^[1]. Замість Ei використовується наступне позначення^[1],

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int \limits _{z}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,{\rm {d}}t,\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi }$

(зауважимо, що для додатних значень ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle -\operatorname {E} _{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)}$).

Загалом, розгалуження здійснюється по від'ємній дійсній осі, і ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ можна визначити за допомогою аналітичного продовження на комплексну площину.

Для додатних значень дійсної частини ${\displaystyle z}$ це можна записати як^[2]

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-tz}}{t}}\,{\rm {d}}t=\int \limits _{0}^{1}{\frac {{\rm {e}}^{-{z/u}}}{u}}\,{\rm {d}}u,\qquad \operatorname {Re} (z)\geqslant 0.}$

Поведінка ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ біля точки розгалуження визначається наступним співвідношенням^[3]:

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}\operatorname {E} _{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}$

Властивості

Декілька властивостей експоненціального інтегралу, що наведені нижче, у деяких випадках дозволяють уникнути його явного оцінювання через вищенаведене означення.

Збіжний ряд

Для дійсних або комплексних аргументів, які знаходяться поза від'ємною дійсною віссю, ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)}$ може бути виражений як^[4]

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=-\gamma -\ln {z}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{(-z)}^{k}}{kk!}},\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi ,}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — константа Ейлера–Маскероні. Ряд збігається для всіх комплексних ${\displaystyle z}$, і ми беремо звичайне значення комплексного логарифма, який має розгалуження вздовж від'ємної дійсної осі.

Ця формула може бути використана для обчислення ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)}$ в операціях з плаваючою комою для дійсного ${\displaystyle x}$ між ${\displaystyle 0}$ та ${\displaystyle 2{,}5}$. Для ${\displaystyle x>2{,}5}$ результат неточний через втрату значущості.

Ряд який збігається швидше знайшов Рамануджан:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln {x}+\exp \left({\frac {x}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

Даний збіжний ряд може використовуватися для отримання асимптотичних оцінок, наприклад,

${\displaystyle 1-{\frac {3x}{4}}\leq \operatorname {Ei} (x)-\gamma -\ln {x}\leq 1-{\frac {3x}{4}}+{\frac {11x^{2}}{36}}}$

для ${\displaystyle x\geq 0}$.

Асимптотичний (розбіжний) ряд

Відносна похибка асимптотичного наближення для різного числа ${\displaystyle N}$ доданків в усічений сумі (${\displaystyle N=1}$ — червона лінія, ${\displaystyle N=5}$ — рожева лінія).

На жаль, збіжність рядів що наведені вище є повільною для великих за модулем аргументів. Наприклад, для ${\displaystyle x=10}$ потрібно більше 40 членів, щоб для ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)}$ отримати у відповіді перші три правильні цифри.^[5] Однак існує апроксимація розбіжним рядом, який можна отримати інтегруючи ${\displaystyle ze^{z}\operatorname {E} _{1}(z)}$ частинами:^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}}$

з похибкою порядку ${\displaystyle O{\big (}N!z^{-N}{\big )}}$ і яка може використовуватися при великих значень ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$. Відносна похибка такої апроксимації приблизно зображена на рисунку (для різних значень ${\displaystyle N}$ кількості доданків у сумі).

Експоненціальна та логарифмічна поведінка: двостороння оцінка

Двостороння оцінка ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ елементарними функціями.

З двох рядів, які показані в попередніх підрозділах випливає, що ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ поводить себе як від'ємна експонента для великих значень аргументу, і як логарифм — для малих значень. Для додатних дійсних значень аргументу ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ можна обмежити елементарними функціями наступним чином^[7]:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-x}\ln \left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\operatorname {E} _{1}(x)<{\rm {e}}^{-x}\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right),\qquad x>0.}$

На рисунку ліва частина цієї нерівності зображена синім кольором, центральна частина ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)}$ позначена чорним кольором, а права частина нерівності — червоним.

Означення Ein

Функції ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ і ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ можна записати простіше, використовуючи цілу функцію ${\displaystyle \operatorname {Ein} }$^[8], визначену як

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int \limits _{0}^{z}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{kk!}}}$

(зауважте, що це лише знакозмінний ряд у наведеному вище означенні ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$). Тоді

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=-\gamma -\ln {z}+\operatorname {Ein} (z),\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x),\qquad x>0.}$

Зв'язок з іншими функціями

Диференціальне рівняння Куммера

${\displaystyle z{\frac {{\rm {d}}^{2}w}{{\rm {d}}z^{2}}}+(b-z){\frac {{\rm {d}}w}{{\rm {d}}z}}-aw=0}$

як правило, розв'язується за допомогою вироджених гіпергеометричних функцій^[en] ${\displaystyle M(a,b,z)}$ та ${\displaystyle U(a,b,z)}$. Але при ${\displaystyle a=0}$ та ${\displaystyle b=1}$ рівняння набуває вигляду

${\displaystyle z{\frac {{\rm {d}}^{2}w}{{\rm {d}}z^{2}}}+(1-z){\frac {{\rm {d}}w}{{\rm {d}}z}}=0,}$

і для всіх ${\displaystyle z}$

${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$.

Другий розв'язок подається через ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(-z)}$. А саме,

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}}{\bigg |}_{a=0},\qquad 0<\operatorname {Arg} (z)<2\pi }$.

Інший зв'язок з виродженими гіпергеометричними функціями полягає в тому, що ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}}$ — це добуток експоненціальної функції та ${\displaystyle U(1,1,z)}$:

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)={\rm {e}}^{-z}U(1,1,z)}$.

Експоненційний інтеграл тісно пов'язаний з логарифмічною інтегральною функцією ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ за допомогою формули

${\displaystyle \operatorname {li} ({\rm {e}}^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$

для ненульових дійсних значень ${\displaystyle x}$.

Експоненційний інтеграл можна також узагальнити до функції

${\displaystyle \operatorname {E} _{n}(x)=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-xt}}{t^{n}}}\,{\rm {d}}t}$,

яку можна записати як частковий випадок неповної гамма-функції ^[9]:

${\displaystyle \operatorname {E} _{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)}$.

Таку узагальнену форму іноді називають функцією Мізра^[10], ${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$, що визначається як

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=\operatorname {E} _{-m}(x)}$.

З використанням логарифма визначає узагальнену інтегро-експоненціальну функцію^[11]

${\displaystyle \operatorname {E} _{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int \limits _{1}^{\infty }(\log {t})^{j}{\frac {{\rm {e}}^{-zt}}{t^{s}}}\,{\rm {d}}t}$.

Невизначений інтеграл

${\displaystyle \operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint {\rm {e}}^{ab}{\rm {d}}a\,{\rm {d}}b}$

за формою схожий на звичайну твірну функцію для ${\displaystyle {\rm {d}}(n)}$, кількість дільників числа ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\rm {d}}(n)x^{n}=\sum _{a=1}^{\infty }\sum _{b=1}^{\infty }x^{ab}}$.

Похідні

Похідні узагальнених функцій ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$ можна обчислювати за формулою^[12]:

${\displaystyle \operatorname {E} '_{n}(z)=-\operatorname {E} _{n-1}(z),\qquad n=1,2,3,\dots }$.

Зауважимо, що функція ${\displaystyle \operatorname {E} _{0}}$ — це просто ${\displaystyle {\rm {e}}^{-z}/z}$^[13], і таким чином таке рекурсивне співвідношення досить зручне.

Експоненційний інтеграл уявного аргументу

Графік дійсної (чорна крива) та уявної (червона крива) частин функції ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)}$.

Якщо ${\displaystyle z}$ є уявним та має невід'ємну дійсну частину, то можна використовувати формулу

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{tz}}{t}}\,{\rm {d}}t}$

для співвідношення з тригонометричними інтегралами ${\displaystyle \operatorname {Si} }$ та ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$:

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left[-{\frac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x),\qquad x>0}$.

Дійсні та уявні частини функції ${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)}$ зображені на рисунку.

Наближення

Існує ряд наближень для експоненціальної інтегральної функції. Зокрема,

• Наближення Сваме та Охії^[14]

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)=\left(A^{-7{,}7}+B\right)^{-0{,}13}}$,

де

${\displaystyle A=\ln \left[\left({\frac {0{,}56146}{x}}+0{,}65\right)(1+x)\right]}$,

${\displaystyle B=x^{4}{\rm {e}}^{7{,}7x}(2+x)^{3{,}7}}$.

• Наближення Аллена та Гастінгса^[15]

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)={\begin{cases}-\ln {x}+{\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {x}}_{5},\qquad x\leq 1,\\{\dfrac {{\rm {e}}^{-x}}{x}}{\dfrac {{\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {x}}_{3}}{{\boldsymbol {c}}{\boldsymbol {x}}_{3}}},\qquad x\geq 1,\end{cases}}}$

де

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\triangleq [-0{,}57722,\,0{,}99999,\,-0{,}24991,\,0{,}05519,\,-0{,}00976,\,0{,}00108],}$

${\displaystyle {\boldsymbol {b}}\triangleq [0{,}26777,\,8{,}63476,\,18{,}05902,\,8{,}57333],}$

${\displaystyle {\boldsymbol {c}}\triangleq [3{,}95850,\,21{,}09965,\,25{,}63296,\,9{,}57332],}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}\triangleq \left[x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}\right]^{T}.}$

• Неперервний ланцюговий дріб

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)={\cfrac {{\rm {e}}^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\dots }}}}}}}}}}}}}$.

• Наближення Баррі зі співавторами ^[16]

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{G+(1-G){\rm {e}}^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right]}$,

де

${\displaystyle h={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}}$,

${\displaystyle q={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}}$,

${\displaystyle h_{\infty }={\frac {(1-G)\left(G^{2}-6G+12\right)}{3G(2-G)^{2}b}}}$,

${\displaystyle b={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}}$,

${\displaystyle G={\rm {e}}^{-\gamma }}$,

${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера–Маскероні.

Застосування

• Залежність теплообміну від часу.

• Нерівноважний потік ґрунтових вод у рівнянні Тейса (функція свердловини).

• Переміщення радіації у міжзоряному просторі та земній атмосфері.

• Рівняння радіальної дифузії для перехідного або нестаціонарного потоку з лінійними джерелами та стоками.

• Розв'язок рівняння переміщення нейтронів у спрощеній 1-D геометрії^[17].

Див. також

• Інтеграл Гудвіна–Статона

• Функції Біклі–Нейлора

Виноски

1. Abramowitz and Stegun, p. 228, 5.1.1
2. Abramowitz and Stegun, p. 228, 5.1.4 with n = 1
3. Abramowitz and Stegun, p. 228, 5.1.7
4. Abramowitz and Stegun, p. 229, 5.1.11
5. Bleistein and Handelsman, p. 2
6. Bleistein and Handelsman, p. 3
7. Abramowitz and Stegun, p. 229, 5.1.20
8. Abramowitz and Stegun, p. 228, see footnote 3.
9. Abramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.45
10. After Misra (1940), p.~178
11. Milgram (1985)
12. Abramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.26
13. Abramowitz and Stegun, p. 229, 5.1.24
14. Giao, Pham Huy (2003-05-01). ``Revisit of Well Function Approximation and An Easy Graphical Curve Matching Technique for Theis' Solution. Ground Water. 41 (3): 387–390
15. Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang (1998-02-26). ``Numerical evaluation of exponential integral: Theis well function approximation. Journal of Hydrology. 205 (1–2): 38–51.
16. Barry, D. A; Parlange, J. -Y; Li, L (2000-01-31). ``Approximation for the exponential integral (Theis well function). Journal of Hydrology. 227 (1–4): 287–291.
17. George I. Bell; Samuel Glasstone (1970). Nuclear Reactor Theory. Van Nostrand Reinhold Com\-pany.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Abramowitz, Milton; Irene Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0., Chapter 5.
• Bender, Carl M.; Steven A. Orszag (1978). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-004452-4.
• Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Asymptotic Expansions of Integrals. Dover. ISBN 978-0-486-65082-1.
• Busbridge, Ida W. (1950). On the integro-exponential function and the evaluation of some integrals involving it. Quart. J. Math. (Oxford). 1 (1): 176—184. Bibcode:1950QJMat...1..176B. doi:10.1093/qmath/1.1.176.
• Stankiewicz, A. (1968). Tables of the integro-exponential functions. Acta Astronomica. 18: 289. Bibcode:1968AcA....18..289S.
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0. J. Comput. Phys. 25 (2): 199—204. Bibcode:1977JCoPh..25..199S. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5.
• Kölbig, K. S. (1983). On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt. Math. Comput. 41 (163): 171—182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1.
• Milgram, M. S. (1985). The generalized integro-exponential function. Mathematics of Computation. 44 (170): 443—458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. JSTOR 2007964. MR 0777276.
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). On the Stability of Crystal Lattices. II. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 36 (2): 173. Bibcode:1940PCPS...36..173M. doi:10.1017/S030500410001714X.
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x). J. Comput. Phys. 78 (2): 278—287. Bibcode:1988JCoPh..78..278C. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2.
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). Recent results for generalized exponential integrals. Computer Math. Applic. 19 (5): 21—29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5.
• MacLeod, Allan J. (2002). The efficient computation of some generalised exponential integrals. J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363—374. Bibcode:2002JCoAm.138..363M. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3.

Зовнішні посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), exponential function Integral exponential function, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• NIST documentation on the Generalized Exponential Integral [Архівовано 8 лютого 2020 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Exponential Integral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. En-Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals [Архівовано 6 квітня 2020 у Wayback Machine.] in DLMF.