IEEE 754

Стандарт IEEE для чисел з рухомою комою (IEEE 754) — технічний стандарт формату представлення чисел з рухомою комою, створений у 1985 році Інститутом інженерів з електротехніки та електроніки (IEEE). Стандарт вирішував багато проблем, виявлених у різноманітних реалізаціях з рухомою комою, що ускладнювало їхнє надійне та портативне використання. Багато апаратних пристроїв із рухомою комою використовують стандарт IEEE 754. Використовується як у програмних реалізаціях арифметичних дій, так і в багатьох апаратних (CPU та FPU) реалізаціях. Багато компіляторів мов програмування використовують цей стандарт для зберігання чисел та виконання математичних операцій.

Стандарт визначає формати і методи для арифметики з рухомою комою в комп'ютерних системах — стандартні та розширені функції для чисел одинарної, подвійної, розширеної і розширюваної точності — і рекомендує формати для обміну даними^[1]. Визначає виняткові ситуації та їхню стандартну обробку.

Цей стандарт визначає:

• Арифметичні формати: набори двійкових і десяткових даних з рухомою комою, які складаються з кінцевих чисел (у тому числі нулі зі знаком і денормалізовані числа), нескінченності та спеціальних значень «не число» (NaN).
• Формати обміну: кодування (бітові рядки), які можна використовувати для обміну даними з рухомою комою в ефективній та компактній формі.
• Правила округлення: властивості, які слід задовільняти при округленні чисел під час арифметики та перетворення.
• Операції: арифметичні та інші операції (наприклад, тригонометричні функції, додавання, віднімання, множення, ділення, поєднане множення-додавання, знаходження квадратного кореня, порівняння) над арифметичними форматами.
• Перетворення між цілими форматами і форматами з рухомою комою.
• Перетворення між різними форматами з рухомою комою.
• Перетворення між форматами з рухомою комою і зовнішніми поданнями — символьними послідовностями.
• Обробка винятків: ознаки виняткових умов (наприклад, ділення на нуль, переповнення тощо).

IEEE 754-2008, опублікований у серпні 2008 року, містить майже весь оригінальний стандарт IEEE 754-1985, а також стандарт IEEE 854-1987 для арифметики з рухомою крапкою, незалежну від кореня. Поточна версія, IEEE 754-2019, була опублікована в липні 2019 року.^[2] Це незначна редакція попередньої версії, яка включає в основному уточнення, виправлення дефектів і нові рекомендовані операції.

Коротка історія

Стандарт IEEE 754 був розроблений робочою групою Floating-Point Working Group комітету стандартів Інституту інженерів з електротехніки та електроніки IEEE у 1985 році. Провідну роль у розробці стандарту відіграв професор Каліфорнійського університету в Берклі Вільям Кехен, якого часто називають «батьком рухомої коми»^[3].

Після 2000 року робоча група зайнялася удосконаленням існуючого стандарту IEEE Std 754—1985 з метою усунення недоліків, об'єднання його зі стандартом IEEE Std 854—1987 та доповнення новими можливостями^[4]. Ця робота завершилася у 2008 році прийняттям нового стандарту IEEE Std 754—2008^[1]. Пізніше цей стандарт був затверджений Міжнародною організацією зі стандартизації як ISO/IEC/IEEE 60559:2011^[5].

Основні терміни[1]

Основний формат (basic format) — одне із п'яти представлень чисел з рухомою комою (три двійкових і два десяткових), визначених цим стандартом і призначених для арифметики.

Формат обміну (interchange format) — формат, що має визначене кодування фіксованої ширини, визначене цим стандартом.

Формат розширеної точності (extended precision format) — формат, який розширює основний формат, надаючи більшу точність і діапазон представлення чисел.

Формат розширюваної точності (extendable precision format) — формат з точністю і діапазоном, які визначаються користувачем.

Не число (not a number, NaN) — код, який не є чинним представленням жодного з чисел з рухомою комою. Буває двох типів «тихе не число» та «сигнальне не число».

Тихе не число (quiet NaN, qNaN) — є результатом операції, який не є числом з рухомою комою, хоча й не призводить до генерації виключень (наприклад, операції 0/0 або корінь з від'ємного числа дають NaN).

Сигнальне не число (signaling NaN, sNaN) — сигналізує про неприпустиме значення числа з рухомою комою шляхом генерації виключення. Зазвичай сигналізує про неініціалізовані змінні.

Зміщений порядок (biased exponent) — сума порядку і зміщення (константи), обраного так, щоб усі порядки були невід'ємними.

Хвіст мантиси (trailing significand) — дробова частина нормалізованої мантиси (для двійкового представлення — усі біти мантиси, крім найстаршого).

Формати

Стандарт визначає формати чисел з рухомою комою, які використовуються для представлення скінченної підмножини дійсних чисел. Формати характеризуються основою системи числення (radix або base), точністю (precision) і діапазоном значень порядку (range). Визначені конкретні кодування для двійкових і десяткових форматів.

Оновлений стандарт IEEE Std 754—2008 визначає два види форматів:

• формати обміну, визначені як бітові послідовності фіксованої довжини, що дозволяють здійснювати обмін даними між різними платформами (за умови, що вирішені питання порядку слідування байтів);
• формати розширеної і розширюваної точності, кодування яких точно не визначене, але може відповідати форматам обміну.

Формати обміну включають п'ять основних форматів фіксованого розміру:

• три двійкових формати з кодами довжиною 32, 64 і 128 біт (binary32, binary64, binary128);
• два десяткових формати з кодуваннями довжиною 64 і 128 біт (decimal64, decimal128).

Формати binary32 і binary64 відповідають форматам одинарної та подвійної точності стандарту IEEE 754—1985.

Параметри кодування чисел

Представлення даних з рухомою комою включає:

• трійку елементів (знак s, порядок e, мантиса m); в системі числення за основою b число з рухомою комою має вигляд (−1)^s × m × b^e;
• дві нескінченності +∞, −∞;
• два типи не чисел qNaN (тихе), sNaN (сигнальне).

Кодування переводить дані з рухомою комою в бітову послідовність. Бітові послідовності NaN можуть містити ретроспективну діагностичну інформацію.

Числа з рухомою комою представляються в заданому форматі за допомогою наступних параметрів:

• основа b (2 або 10);
• кількість цифр мантиси (точність) p;
• максимальний порядок e = e_max;
• мінімальний порядок e = e_min.

Для всіх форматів справедливо e_min = 1 − e_max.

Кодування двійкових даних

Дані з рухомою комою у форматах обміну представляються k бітами за допомогою трьох полів:

• 1-бітовий знак S;
• w-бітовий зміщений порядок E = e + bias;
• t-бітовий (t = p−1) хвіст мантиси T = d₁d₂…d_p−1; ведучий біт мантиси d₀, неявно закодований у зміщеному порядку E.

MSB

LSB

знак S

порядок E

хвіст мантиси T

1 біт

w бітів

t = p — 1 бітів

Для представлення у цьому форматі двійкове число спочатку нормалізується, тобто приводиться до такого вигляду, коли мантиса потрапляє в діапазон 1 ≤ m < 2. Таким чином ціла частина нормалізованої мантиси завжди дорівнює 1.

Знак додатних чисел кодується нулем, від'ємних одиницею. В поле порядку пишеться зміщений порядок — до порядку нормалізованого числа додається константа, таким чином всі порядки представляються додатними числами. В поле мантиси записується, т. зв. «хвіст» мантиси — всі дробові цифри мантиси (крім першої одиниці, яка є цілою частиною). Ціла частина мантиси в нормалізованому вигляді дорівнює 1 і не входить до коду числа. Це так звана прихована одиниця.

Приклад. 0,3125₁₀ = 0,0101₂ = 1,01 × 2⁻². Для формату binary32 порядок зміщується на 127. E = –2 + 127 = 125 = 1111101₂. Мантиса записується без першої одиниці, тобто T = 01 (1,01 –1 = 0,01). Компоненти коду: знак — 0 (1 розряд), зміщений порядок — 01111101 (8 розрядів), хвіст мантиси 01000000000000000000000 (23 розряди).

Повний 32-бітний код 00111110101000000000000000000000. Кольором виділено поле порядку.

Зведена таблиця форматів IEEE Std 754—2008

Формат	Назва	Основа	Цифр мантиси	Десяткових цифр	Бітів порядку	Десяткове E max	Зміщення порядку	E min	E max	Примітки
binary16	Half precision	2	11	3.31	5	4.51	24−1 = 15	−14	+15	не основний
binary32	Single precision	2	24	7.22	8	38.23	27−1 = 127	−126	+127
binary64	Double precision	2	53	15.95	11	307.95	210−1 = 1023	−1022	+1023
binary128	Quadruple precision	2	113	34.02	15	4931.77	214−1 = 16383	−16382	+16383
decimal32		10	7	7	7.58	96	101	−95	+96	не основний
decimal64		10	16	16	9.58	384	398	−383	+384
decimal128		10	34	34	13.58	6144	6176	−6143	+6144

Примітки

1. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic [Архівовано 19 лютого 2017 у Wayback Machine.]. IEEE, 2008.
2. IEEE 754, 2019
3. Haigh, Thomas. William («Velvel») Morton Kahan (англ.). Архів оригіналу за 3 червня 2017. Процитовано 3 лютого 2017.
4. Handbook of Floating-Point Arithmetic [Архівовано 16 лютого 2017 у Wayback Machine.]. Birkhäuser Boston, 2010.
5. ISO/IEC/IEEE 60559:2011 — Інформаційні технології — Мікропроцесорні системи — Арифметика з рухомою комою. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 3 лютого 2017.

Посилання

• IEEE Computer Society. IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. — New York : IEEE, 1985. — 23 с. — ISBN 0-7381-1165-1.
• IEEE Computer Society. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. — New York : IEEE, 2008. — 70 с. — ISBN 978-0-7381-5752-8.
• Muller Jean-Michel та ін. Handbook of Floating-Point Arithmetic. — Boston : Birkhäuser, 2010. — 572 с. — ISBN ISBN 978-0-8176-4705-6.
• Онлайн конвертор IEEE 754 [Архівовано 30 квітня 2017 у Wayback Machine.]