Формула Ейлера — Маклорена

В математиці формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.

Твердження

Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку ${\displaystyle [p,q]}$, функції :

${\displaystyle {\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{j=p+1}^{q-1}f\left(j\right)=\int _{p}^{q}f(x)\,dx+\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_{k}}$

де :

${\displaystyle R_{k}=-\int _{p}^{q}f^{(2k)}(x){B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor ) \over (2k)!}\,dx,}$

В даних формулах ${\displaystyle B_{i}}$ позначає i-й многочлен Бернуллі, ${\displaystyle B_{i}(x-\lfloor x\rfloor )}$ — періодизований многочлен Бернуллі. Числа b_i позначають числа Бернуллі : b₁ = −1/2, b₂ = 1/6, b₃ = 0, b₄ = −1/30, b₅ = 0, b₆ = 1/42, b₇ = 0, b₈ = −1/30.

Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.

Доведення

Достатньо довести справедливість для інтервалу ${\displaystyle [n,n+1]}$ де ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ; загальна формула одержується за допомогою сумування.

Нехай g — функція неперервно диференційована на інтервалі ${\displaystyle [n,n+1]}$ . Використовуючи властивість многочленів Бернуллі : ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} B_{k+1}'=\left(k+1\right)B_{k}}$, одержуємо з інтегрування частинами :

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}g\left(t\right)B_{k}\left(t-n\right)dt=\left[{\frac {g\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)}{k+1}}\right]_{n}^{n+1}-{\frac {1}{k+1}}\int _{n}^{n+1}g'\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)dt}$

Оскільки для ${\displaystyle k\geq 2}$, виконується ${\displaystyle B_{k}\left(1\right)=B_{k}\left(0\right)=b_{k}}$, одержуємо :

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}g\left(t\right)B_{k}\left(t-n\right)dt={\frac {b_{k+1}}{k+1}}\left(g\left(n+1\right)-g\left(n\right)\right)-{\frac {1}{k+1}}\int _{n}^{n+1}g'\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)dt}$

Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи ${\displaystyle g=f^{(2p)}}$, одержується :

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f\left(t\right)dt={\frac {f\left(n\right)+f\left(n+1\right)}{2}}+\sum _{k=2}^{2p}{\frac {\left(-1\right)^{k-1}b_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}\left(n+1\right)-f^{(k-1)}\left(n\right)\right)+{\frac {1}{(2p)!}}\int _{n}^{n+1}f^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}\left(t-n\right)dt}$

З властивості : ${\displaystyle \forall k\geq 1,b_{2k+1}=0}$, одержується :

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f\left(t\right)dt={\frac {f\left(n\right)+f\left(n+1\right)}{2}}+\sum _{k=2}^{\lfloor {\frac {p}{2}}\rfloor }{\frac {b_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}\left(n+1\right)-f^{(2k-1)}\left(n\right)\right)+{\frac {1}{(2p)!}}\int _{n}^{n+1}f^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}\left(t-n\right)dt}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Цегелик Г.Г. Чисельні методи. – Львів: Видавничий центр Львівського національного університету, 2004. – 408 с
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9
• Weisstein, Eric W. Формула Ейлера — Маклорена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.