Узагальнена дисперсія

У багатовимірній статистиці узага́льнена диспе́рсія (англ. generalized variance), на додачу до загальної дисперсії^[de], є одним з ключових показників загального розсіювання багатовимірного набору даних (з ${\displaystyle p}$ змінними ${\displaystyle X_{j}}$). При порівнянні узагальнених дисперсій двох різних загальних сукупностей можливо, що одна сукупність має більшу узагальнену дисперсію, ніж інша, але все ж меншу загальну дисперсію.

Узагальнену дисперсію визначають через визначник коваріаційної матриці. Поняття узагальненої дисперсії запровадив Семюел Стенлі Уілкс^[en].

Визначення

Для коваріаційної матриці ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ загальної сукупності узагальнену дисперсію визначають як її визначник, тобто,^[1]

${\displaystyle {\text{узагальнена дисперсія}}={\begin{vmatrix}\mathbf {\Sigma } \end{vmatrix}}}$ .

І навпаки, ви́біркову узагальнену дисперсію визначають як ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {S} \end{vmatrix}}}$. В цьому випадку ${\displaystyle \mathbf {S} }$ подає ви́́біркову коваріаційну матрицю^[de].

Геометрична інтерпретація

Ви́біркова узагальнена дисперсія має геометричну інтерпретацію. Розширення еліпса на понад два виміри називають гіпереліпсоїдом. p-вимірний гіпереліпсоїд ${\displaystyle \left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)=a^{2}}$ з центром в ${\displaystyle {\overline {\mathbf {y} }}}$ та на основі ${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$ для стандартизації відстані до центру містить підмножину спостережень ${\displaystyle \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\ldots ,\mathbf {y} _{n}}$ вибірки. Еліпсоїд ${\displaystyle \left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)=a^{2}}$ має осі, пропорційні квадратним кореням з власних значень ви́біркової коваріаційної матриці. Можливо показати, що об'єм цього еліпсоїда пропорційний ${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {S} \end{vmatrix}}^{-1/2}}$.^[1]

Примітки

1. Alvin C. Rencher: Methods of multivariate analysis. Vol. 492. John Wiley & Sons, 2003. S. 73. (англ.)