Еліпсоїд

Еліпсоїд — замкнута центральна поверхня другого порядку.

Еліпсоїд обертання

Еліпсоїд

Загальний опис

Еліпсоїд має центр симетрії та три осі, які називаються осями еліпсоїда. Точки перетину координатних осей з еліпсоїдом називаються його вершинами. Перетини еліпсоїда площинами є еліпсами (зокрема, завжди можна вказати кругові перетини еліпсоїда). В декартовій системі координат рівняння еліпсоїда має вигляд:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

де a, b, c — додатні дійсні числа, що називаються півосями еліпсоїда. Оскільки сума трьох додатних доданків лівої частини рівняння дорівнює одиниці, то кожен з них (при дійсних значеннях координат) не може перевищувати одиниці:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\leq 1,{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\leq 1,{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\leq 1}$

Звідси випливає, що координати точок еліпсоїда задовольняють нерівність:

${\displaystyle -a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c}$

Отже, еліпсоїд - скінченна поверхня, яка цілком лежить всередині паралелепіпеда, розміри якого ${\displaystyle 2a,2b,2c}$

Рівняння еліпсоїда

Декартові координати

Узагальнена форма

Довільно орієнтований еліпсоїд, із центром у точці v, визначається розв'язками x рівняння

${\displaystyle (\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }\!A\,(\mathbf {x-v} )=1,}$

де A це додатноозначена матриця і x, v це вектори.

Власні вектори A визначають головні осі еліпсоїда, а власні значення A це обернені квадрати півосей: ${\displaystyle a^{-2}}$, ${\displaystyle b^{-2}}$ і ${\displaystyle c^{-2}}$^[1]. Для інтуїтивного розуміння цієї формули достатньо уявити матрицю ${\displaystyle A}$ як ${\displaystyle Q\Lambda Q^{T}}$.

По суті, еліпсоїди це одиничні кулі піддані афінному перетворенню. Щоб побачити це згадаємо важливий факт щодо додатноозначеної матриці ${\displaystyle A}$, існує матриця ${\displaystyle B}$ така, що ${\displaystyle A=BB^{T}}$. Позначимо еліпсоїд як ${\displaystyle E(a,A)}$. Розглянемо бієктивне афінне перетворення ${\displaystyle T:x\to y=B^{T}(x-a)}$. Воно відображає еліпсоїд в одиничну кулю: ${\displaystyle E(a,A)\to {y:y^{T}y\leq 1}=E(0,I)}$.

Сферичні координати

${\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}(\phi )\sin ^{2}(\theta )}{a^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin ^{2}(\phi )\sin ^{2}(\theta )}{b^{2}}}+{\frac {r^{2}\cos ^{2}(\theta )}{c^{2}}}=1.}$

Циліндричні координати

${\displaystyle {\frac {r^{2}\cos ^{2}(\theta )}{a^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin ^{2}(\theta )}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

Формули

Об'єм	${\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi abc}$

Див. також

• Земний еліпсоїд
• Референц-еліпсоїд
• Еліпсоїд обертання
• Метод еліпсоїдів

Примітки

1. Stephen Boyd Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD [Архівовано 26 червня 2013 у Wayback Machine.]. (англ.)

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Еліпсоїд // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Еліпсоїд // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 156-157. — 594 с.