Сферична система координат

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, де ${\displaystyle r}$ — відстань до початку координат, а ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ — зенітний і азимутальний кути відповідно.

Точка ${\displaystyle P}$ має три декартових і три сферичних координати

Поняття зеніту і азимуту

Поняття зеніт і азимут широко використовуються в астрономії. Взагалі зеніт — це напрямок вертикального підйому над довільно вибраним пунктом (точкою спостереження), що належить так званої фундаментальної площини. Як фундаментальна площина в астрономії може бути обрана площина, в якій лежить екватор, або площина, в якій лежить горизонт, або площина екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут — кут між довільно вибраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.

На наведеному малюнку сферичної системи координат, фундаментальна площина — це площина xy. Зеніт — якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховується від осі X до проєкції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може служити узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.

Визначення

Три координати ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ визначені як:

• ${\displaystyle r\geqslant 0}$ — відстань від початку координат до заданої точки ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$ — кут між віссю ${\displaystyle Z}$ і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}$ — кут між віссю ${\displaystyle X}$ і проєкцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою ${\displaystyle P}$, на площині ${\displaystyle XY}$.

Кут ${\displaystyle \theta }$ називається зенітний, або полярний, або нормальний, англ. colatitude, а кут ${\displaystyle \varphi }$ — азимутальний. Кути ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ не мають значення при ${\displaystyle r=0}$, а ${\displaystyle \varphi }$ не має значення при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ (тобто при ${\displaystyle \theta =0}$ або ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$).

Залежно чи незалежно від стандарту (ISO 31-11), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута ${\displaystyle \theta }$, використовується кут між проєкцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює ${\displaystyle 90^{\circ }}$ — ${\displaystyle \theta }$. Він називається кутом підйому і може бути позначений тією ж буквою ${\displaystyle \theta }$. В цьому випадку він буде змінюватись в межах ${\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}$.

Тоді кути ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ не мають значення при ${\displaystyle r=0}$, так само як і в першому випадку, а ${\displaystyle \varphi }$ не має значення при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$, так само як і в попередньому випадку, (але вже при ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }}$ або ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$).

Перехід до інших систем координат

• Декартова система координат
  • Від сферичних до декартових:

    ${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \sin \theta ,\\y=r\sin \varphi \sin \theta ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

  • Від декартових до сферичних:

    ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos \left({\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right).\end{cases}}}$

    • (тут, звісно, потрібне уточнення для значень ${\displaystyle \varphi }$ поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна на відповідну формулу з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати ${\displaystyle \theta }$).
  • Модуль якобіана перетворення від сферичних до декартових координат:

    ${\displaystyle |J|=r^{2}\sin \theta .}$

• Циліндрична система координат
  • Від сферичних до циліндричних:

    ${\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

  • Від циліндричних до сферичних:

    ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\rho }{z}}\right),\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}$

  • Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:

    ${\displaystyle |J|=r.}$

Диференціальні характеристики

Сферичні координати є ортогональними, тому метричний тензор набуває діагональної форми:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ }$
• Квадрат диференціала довжини дуги:

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}$

• Коефіцієнти Ляме:

${\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .}$

• Символи Крістофеля ${\displaystyle \{r,\;\theta ,\;\varphi \}}$:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,}$

${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},}$

${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=-\mathrm {ctg} \,\theta .}$

Інші дорівнюють нулю.

Див. також

• Системи небесних координат
• Полярна система координат
• Циліндрична система координат
• Декартова система координат

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Сферичні координати(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.