Тотожність Ейлера

У математичному аналізі тотожність Ейлера, що названа на честь Леонарда Ейлера, це рівняння

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

де

${\displaystyle e\,\!}$ — це число Ейлера, основа натуральних логарифмів;

${\displaystyle i\,\!}$ — це уявна одиниця, комплексне число, квадрат якого дорівнює ${\displaystyle -1}$;

${\displaystyle \pi \,\!}$ — це число пі, відношення довжини кола круга до його діаметра.

Тотожність Ейлера також називають «рівнянням Ейлера».

Значення тотожності

Тотожність Ейлера є прекрасним зразком єдності математики. Як зауважив Елі Маор, вона поєднує три основні математичні операції, а саме додавання, множення, і піднесення до степеня і п'ять фундаментальних математичних констант, що належать до чотирьох класичних галузей математики:

• число 0 і число 1 (Арифметика);
• число ${\displaystyle i}$, уявну одиницю, комплексне число, що задовільняє ${\displaystyle i^{2}=-1}$ (Алгебра);
• число ${\displaystyle \pi }$ (Геометрія);
• число ${\displaystyle e}$, основа натуральних логарифмів (Аналіз).

Не дивно, що чимало хто знайшов у тотожності Ейлера містичні значення усіх зразків. («These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics: arithmetic, represented by 0 and 1; algebra, by i; geometry, by π; and analysis by e. No wonder that many people have found in Euler's formula all kinds of mystic meanings.»)

Тотожність Ейлера викликала багато захоплених відгуків.

• За словами відомого суднобудівника та математика академіка Олексія Миколайовича Крилова, у цій тотожності загадковим чином поєдналися числа, що символізують арифметику (0 та 1), алгебру (i), аналіз (e) та геометрію (π).^[1]
• Карл Фрідріх Ґаусс говорив, що якщо ця формула не є відразу очевидна для студента, то він ніколи не перетвориться на першокласного математика.^[2]
• За опитуванням читачів журналу Physics World, що проходило у 2004 році, тотожність Ейлера (разом з рівняннями Максвелла) була названа «Найвеличнішим рівнянням історії»^[3]
• За думкою Констанс Рід^[en], ця тотожність є «найзнаменитішою формулою всієї математики».^[4]

Після доведення тотожності Ейлера в лекції, Бенджамін Пірс, відомий математик XIX сторіччя і професор Гарвардського університету, сказав, «Це абсолютно парадоксально; ми не можемо зрозуміти це, і ми не знаємо, що це означає, але ми довели це, і тому знаємо, що це повинно бути істиною.»^[5]

Доведення

Демонстрація формули Ейлера у комплексній площині

Тотожність Ейлера випливає із формули Ейлера, що має вид:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

для будь-якого дійсного числа ${\displaystyle x}$. Зокрема, якщо

${\displaystyle x=\pi ,\,\!}$ то ${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}$

Оскільки

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$ та ${\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}$ отримуємо ${\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!}$

що і доводить тотожність

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Загальнішим чином, можна довести, що

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.}$

Тотожність Ейлера відповідає ${\displaystyle n=2.}$