Теорія катастроф

Теорія катастроф — розділ прикладної математики, галузь теорії біфуркацій, важливий інструмент для дослідження динамічних систем; також — спеціальний розділ загальнішої теорії сингулярностей в геометрії.

Історія

Основи теорії катастроф були закладені насамперед у працях американського тополога Гасслера Вітні (англ. Hassler Whitney) в 1955 році, в 1960-х цією теорією зайнявся французький математик і лауреат премії Філдса 1958 року Рене Том. Однак популярності ідеї Вітні та Тома набули тільки завдяки декільком публікаціям Крістофера Зімана (англ. Christopher Zeeman) в 1970-х.

Елементарні катастрофи

Теорія катастроф аналізує критичні точки (репетиції) потенціальної функції, тобто точки, де не тільки перша похідна функції дорівнює нулю, але й рівні нулю і похідні більш високого порядку. Динаміка розвитку таких точок може бути вивчена за допомогою розкладання потенціальної функції в ряд Тейлора за малих змін вхідних параметрів.

Якщо точки росту не є випадковими, а структурно стабільними, то ці точки існують як центри організації для особливих геометричних структур з низьким рівнем виродженості, з критичними параметрами (високим рівнем катастрофічності) в оточуючих їх областях фазового простору. Якщо потенціальна функція залежить від трьох або меншого числа активних змінних, і п'яти або менше активних параметрів, то в цьому випадку існує всього сім описаних узагальнених структур геометрій біфуркацій, яким можна приписати стандартні форми розкладу в ряд Тейлора, в які можна розкласти критичні точки за допомогою дифеоморфізму (гладкої трансформації, інверсія якої є теж гладкою). Сьогодні ці сім фундаментальних типів відомі під іменами, які їм дав Рене Том.

Функції з однією змінною:

• Катастрофа типу Складка V = x³ + ax
• Катастрофа типу Збірка V = x⁴ + ax² + bx
• Катастрофа типу Хвіст ластівки V = x⁵ + ax³ + bx² + cx
• Катастрофа типу Метелик V = x⁶ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx

Потенціальні функції з двома змінними:

• Гіперболічна омбіліка V = x³ + y³ + axy + bx + cy
• Еліптична омбіліка V = x³ / 3 − xy² + a(x² + y²) + bx + cy
• Параболічна омбіліка V = yx² + y⁴ + ax² + by² + cx + dy

Застосування теорії катастроф

Створення і розвиток цієї частини математичного аналізу були пов'язані з широкими можливостями наочного аналізу деяких складних явищ, особливо тих, які зустрічаються при описі різних природних та соціальних явищ(веселка, каустика, стійкість складних систем, коливання і руйнування в будівельній механіці, поведінку в етологіі, моніторинг психічних порушень, спричинених радіацією^[1] і навіть бунти у в'язницях).

Див. також

• Ефект метелика
• Ефект снігової лавини
• Катастрофа (математика)
• Критична точка
• Каскад біфуркацій
• Принцип доміно
• Теорема Сарда
• Теорія сингулярностей
• Теорія хаосу

Примітки

1. Чепа М.-Л. А. Моніторинг психічних порушень, спричинених радіацією. — К. : Ін-т соціології НАН України, 1998. — 140 с. — ISBN 966-020771-9.

Література

• В. Пилипенко. Катастроф теорія // Політична енциклопедія. Редкол.: Ю. Левенець (голова), Ю. Шаповал (заст. голови) та ін. — К.: Парламентське видавництво, 2011. — с.320 ISBN 978-966-611-818-2
• Катастроф теорія // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.

Англійською мовою

• Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
• Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.
• Postle, Denis. Catastrophe Theory — Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
• Poston, Tim and Stewart, Ian. Catastrophe Theory and Its Applications. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
• Poston, T. and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X.
• Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.
• Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
• Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3.
• Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
• Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978.
• Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972—1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Російською мовою

• Арнольд В. И. Теория катастроф. — М. : Наука, 1990. — 128 с.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. — М. : Мир, 1977. — 208 с.
• Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. — М. : Мир, 1984. — 349+285 с.
• Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. — М. : Мир, 1983. — 300 с.
• Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. — М. : Мир, 1980. — 617 с.
• Стюарт И. Тайны катастрофы. — М. : Мир, 1987. — 80 с.
• Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез. — М. : Логос, 2002. — 288 с.
• Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. — М. : Мир, 1985. — 256 с.
• А. Чуличков. Теория катастроф и развитие мира. «Климат, лёд, вода ландшфты». [Архівовано 6 травня 2011 у Wayback Machine.]
• В. И. Арнольд и «Теория катастроф». Книга и слова об авторе.^{[недоступне посилання]}

Посилання

• CompLexicon: Catastrophe Theory [Архівовано 7 серпня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)
• Catastrophe teacher [Архівовано 28 листопада 2005 у Wayback Machine.] (англ.)