Теорія катастроф

Теорія катастроф — розділ прикладної математики, галузь теорії біфуркацій, важливий інструмент для дослідження динамічних систем; також — спеціальний розділ загальнішої теорії сингулярностей в геометрії.

Історія

Основи теорії катастроф були закладені насамперед у працях американського тополога Гасслера Вітні (англ. Hassler Whitney) в 1955 році, в 1960-х цією теорією зайнявся французький математик і лауреат премії Філдса 1958 року Рене Том. Однак популярності ідеї Вітні та Тома набули тільки завдяки декільком публікаціям Крістофера Зімана (англ. Christopher Zeeman) в 1970-х.

Елементарні катастрофи

Теорія катастроф аналізує критичні точки (репетиції) потенціальної функції, тобто точки, де не тільки перша похідна функції дорівнює нулю, але й рівні нулю і похідні більш високого порядку. Динаміка розвитку таких точок може бути вивчена за допомогою розкладання потенціальної функції в ряд Тейлора за малих змін вхідних параметрів.

Якщо точки росту не є випадковими, а структурно стабільними, то ці точки існують як центри організації для особливих геометричних структур з низьким рівнем виродженості, з критичними параметрами (високим рівнем катастрофічності) в оточуючих їх областях фазового простору. Якщо потенціальна функція залежить від трьох або меншого числа активних змінних, і п'яти або менше активних параметрів, то в цьому випадку існує всього сім описаних узагальнених структур геометрій біфуркацій, яким можна приписати стандартні форми розкладу в ряд Тейлора, в які можна розкласти критичні точки за допомогою дифеоморфізму (гладкої трансформації, інверсія якої є теж гладкою). Сьогодні ці сім фундаментальних типів відомі під іменами, які їм дав Рене Том.

Функції з однією змінною:

• Катастрофа типу Складка V = x³ + ax
• Катастрофа типу Збірка V = x⁴ + ax² + bx
• Катастрофа типу Хвіст ластівки V = x⁵ + ax³ + bx² + cx
• Катастрофа типу Метелик V = x⁶ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx

Потенціальні функції з двома змінними:

• Гіперболічна омбіліка V = x³ + y³ + axy + bx + cy
• Еліптична омбіліка V = x³ / 3 − xy² + a(x² + y²) + bx + cy
• Параболічна омбіліка V = yx² + y⁴ + ax² + by² + cx + dy

Застосування теорії катастроф

Створення і розвиток цієї частини математичного аналізу були пов'язані з широкими можливостями наочного аналізу деяких складних явищ, особливо тих, які зустрічаються при описі різних природних та соціальних явищ(веселка, каустика, стійкість складних систем, коливання і руйнування в будівельній механіці, поведінку в етологіі, моніторинг психічних порушень, спричинених радіацією^[1] і навіть бунти у в'язницях).

Див. також

• Ефект метелика
• Ефект снігової лавини
• Катастрофа (математика)
• Критична точка
• Каскад біфуркацій
• Принцип доміно
• Теорема Сарда
• Теорія сингулярностей
• Теорія хаосу