Теорема Птолемея

Теорема Птолемея — теорема елементарної геометрії, яка стверджує, що добуток довжин діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків довжин його протилежних сторін.

До теореми Птолемея.

Це не вписаний чотирикутник, через що рівність не справджується.

Тобто:

${\displaystyle \mid {AC}\mid \cdot \mid {BD}\mid =\mid {AB}\mid \cdot \mid {CD}\mid +\mid {BC}\mid \cdot \mid {AD}\mid }$

Нерівність Птолемея

Нерівність Птолемея, як узагальнення теореми, стверджує, що для кожного чотирикутника ABCD справджується:

${\displaystyle \mid {AB}\mid \cdot \mid {CD}\mid +\mid {BC}\mid \cdot \mid {DA}\mid \geq \mid {AC}\mid \cdot \mid {BD}\mid }$

де рівність досягається лише у випадку вписаного в коло чотирикутника.

Нерівність також справджується для трикутної піраміди.

Див. також

• Описане коло
• Теорема Кейсі — узагальнення теореми Птолемея

Інтернет-ресурси

• Теорема Птолемея [Архівовано 7 вересня 2008 у Wayback Machine.]

Посилання

• MathPages — On Ptolemy's Theorem
• Elert, Glenn (1994). Ptolemy's Table of Chords. E-World. Архів оригіналу за 7 липня 2013. Процитовано 2 травня 2010.
• Ptolemy's Theorem [Архівовано 29 березня 2019 у WebCite] at cut-the-knot
• Compound angle proof [Архівовано 10 липня 2018 у Wayback Machine.] at cut-the-knot
• Ptolemy's Theorem [Архівовано 24 липня 2011 у Wayback Machine.] on PlanetMath
• Ptolemy Inequality [Архівовано 27 червня 2020 у Wayback Machine.] on MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium [Архівовано 13 липня 2006 у Wayback Machine.] at Harvard.
• Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit
• Ptolemy's Theorem [Архівовано 8 вересня 2019 у Wayback Machine.]
• Book XIII [Архівовано 9 квітня 2008 у Wayback Machine.] of Euclid's Elements [Архівовано 26 липня 2011 у Wayback Machine.]