Тензорне поле

Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.

Визначення

Формально тензорне поле можна визначити кількома способами.

Визначення через поняття структури на многовиді

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )}$ і ${\displaystyle V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))}$ — простір тензорів типу ${\displaystyle (p,\;q)}$ з природним тензорним представленням групи ${\displaystyle GL^{1}(n)=GL(n)}$, тоді структура типу ${\displaystyle V_{q}^{p}}$ є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу ${\displaystyle (p,\;q)}$.

Визначення через поняття тензорного розшарування

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ на диференційовному многовиді ${\displaystyle M}$, ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

${\displaystyle T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{*}.}$

Нестрогі визначення

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду ${\displaystyle M}$ ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Область застосування

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Розширене тензорне поле

Поняття розширеного тензорного поля виникає в результаті розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.

Нестрогі означення

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці ${\displaystyle \displaystyle x}$ многовиду ${\displaystyle \displaystyle M}$ деякий тензор фіксованої валентності ${\displaystyle \displaystyle (p,q)}$, віднесений до цієї точки ${\displaystyle \displaystyle x}$. Нехай тепер ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над ${\displaystyle \displaystyle M}$, і нехай ${\displaystyle \displaystyle \pi$ :{\tilde {M}}\to M}  — канонічна проєкція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці ${\displaystyle \displaystyle y}$ у многовиді ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ деякий тензор фіксованого валентності ${\displaystyle \displaystyle (p,q)}$ на ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ віднесений до точки ${\displaystyle \displaystyle x=\pi (y)}$.

Література

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — Москва : Мир, 1965. — Т. 5. — С. 333.
• Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 664 с.