Сідлова точка

Сідлова́ то́чка у математиці або точка мінімакса^[1] — це точка на поверхні графіка функції, де всі нахили (похідні) в ортогональних напрямках дорівнюють нулю (тобто, є критичною точкою), але яка не є локальним екстремумом функції^[2]. Прикладом сідлової точки є критична точка з відносним мінімумом вздовж одного осьового напрямку (між піками) і відносним максимумом вздовж іншої осі. Однак, сідлова точка не обов'язково має бути в такому вигляді. Наприклад, функція ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$ має критичну точку в ${\displaystyle (0,0)}$ — це сідлова точка, оскільки вона не є ні відносним максимумом, ні відносним мінімумом, але вона не має відносного максимуму чи відносного мінімуму в напрямку вісі ${\displaystyle y}$.

Сідлова точка (позначена червоним кольором) на графіку гіперболічного параболоїду z = x² − y²

Сідлова точка між двома пагорбами (перетин вісімки на ${\displaystyle z}$-контурі)

Назва походить від того факту, що прототипний приклад у двох вимірах є поверхнею, яка вигинається вгору в одному напрямку і вигинається вниз в іншому напрямку, нагадуючи сідло для верхової їзди або гірський перевал між двома вершинами, що утворюють сідло рельєфу. З точки зору ліній контуру, сідлова точка в двох вимірах створює контурний графік або трасу, на якій контур, що відповідає значенню сідлової точки, здається, перетинає сам себе.

Сідлова точка на контурному графіку — це точка, де перетинаються криві рівня

Визначення

Простим критерієм для перевірки того, чи є дана стаціонарна точка дійсної функції F(x, y) двох дійсних змінних сідловою точкою, є обчислення матриці Геса функції в цій точці: якщо гесіан невизначений, то ця точка є сідловою. Наприклад, матриця Гесе функції ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ у стаціонарній точці ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$ є матрицею

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}}$

яка є невизначеною. Тому ця точка є сідловою. Цей критерій дає лише достатню умову. Наприклад, точка ${\displaystyle (0,0,0)}$ є сідловою точкою для функції ${\displaystyle z=x^{4}-y^{4},}$ але матриця Гесе цієї функції в початку координат є нульовою матрицею, яка не є невизначеною.

У найзагальніших термінах сідлова точка для гладкої функції (графіком якої є крива, поверхня або гіперповерхня) є стаціонарною точкою, такою, що крива/поверхня/і т. д. в околі цієї точки не знаходиться повністю по один бік від дотичного простору в цій точці.

Графік у = x³ з сідловою точкою x = 0

В одновимірному просторі сідловою точкою є точка, яка одночасно є стаціонарною точкою і точкою перегину. Оскільки, це точка перегину, то вона не буде локальним екстремумом.

Сідлова поверхня

Гіперболічний параболоїд

Модель однопорожнинного еліптичного гіперболоїда

Мавпяче сідло^[en]

Сідлова поверхня — це гладка поверхня, що містить одну або кілька сідлових точок.

Класичними прикладами двовимірних сідлових поверхонь в евклідовому просторі є поверхні другого порядку, гіперболічний параболоїд ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ (який часто називають «поверхнею сідла» або «стандартною сідловою поверхнею») і однопорожнинний гіперболоїд. Картопляні чипси Pringles є прикладом гіперболічної параболоїдної форми, який можна зустріти у повсякденному житті.

Сідлові поверхні мають від'ємну гаусову кривину, що відрізняє їх від опуклих/еліптичних поверхонь, які мають додатню гаусову кривину. Класичною поверхнею сідла третього порядку є мавпяче сідло^[en][3].

Приклади

У грі з нульовою сумою для двох гравців, визначеній на неперервному просторі, точка рівноваги є сідловою точкою.

Для лінійної автономної системи другого порядку критична точка є сідловою точкою, якщо характеристичне рівняння (диференціальні рівняння)^[en] має одне додатне та одне від'ємне дійсне власне значення^[4].

При оптимізації з урахуванням обмежень рівності умови першого порядку описують сідлову точку лагранжіана.

Інше використання

У динамічних системах, якщо динаміка задається диференційовною функцією f, точка є гіперболічною тоді й тільки тоді, коли диференціал ƒⁿ (де n — період точки) не має власного значення на (комплексному) одиничному колі при обчисленні у точці. Тоді сідловою точкою є гіперболічна періодична точка, для якої стійкі та нестійкі многовиди^[en] мають розмірність, яка не дорівнює нулю.

Сідловою точкою матриці є елемент, який одночасно є найбільшим елементом у своєму стовпці і найменшим елементом у своєму рядку.

Дисипативні системи

Для дисипативної системи, яка описується кінетичними рівняннями

${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$,

стаціонарна точка (точка рівноваги) визначається з системи рівнянь

${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$,

а її стабільність визначається тим, чи матриця ${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{x_{i}=x_{i}^{0}}}$ додатньо визначена. Задача аналогічна аналізу екстремуму функції багатьох змінних. Сідлові точки в синергетиці, яка вивчає дисипативні системи, відповідають нестійким стаціонарним станам: вузлам і фокусам.

Аналіз стаціонарних точок дисипативних систем стає зовсім аналогічним аналізу точки екстремуму, якщо існує така функція ${\displaystyle U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ (потенціал), що

${\displaystyle f_{i}=-{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}}$.

У загальному випадку це не так.

Див. також

• Сідло
• Білінійна форма
• Екстремум
• Мавпяче сідло^[en]

Примітки

1. Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis (2002): Calculus, Multivariable Version, p. 844.
2. Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 312. ISBN 0-07-010813-7.
3. Buck, R. Creighton (2003). Advanced Calculus (вид. 3rd). Long Grove, IL: Waveland Press. с. 160. ISBN 1-57766-302-0.
4. von Petersdorff, 2006

Посилання

• Екстремум функції двох змінних // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 353. — 594 с.
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, с. 375, ISBN 0-387-97388-5
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (вид. 2nd), New York, NY: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
• von Petersdorff, Tobias (2006), Critical Points of Autonomous Systems, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes)
• Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York, NY: Dover Publications, с. 128, ISBN 0-486-66103-2
• Agarwal, A., Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes)