Степеневий розподіл

В статистиці степеневий розподіл (англ. power law) — це така функціональна залежність між двома величинами, при котрій відносна зміна однієї величини призводить до пропорційної відносної зміни іншої величини, незалежно від початкових значень цих величин: залежність однієї величини від іншої являє собою степеневу функцію. Наприклад, площа квадрата має степеневу залежність від довжини його сторони: якщо довжина буде збільшена удвічі, то площа збільшиться вчетверо.^[1]

Приклад графіку степеневого розподілу, який використовується для демонстрації ранжування по популярності. Праворуч довгий хвіст, ліворуч невелика група тих, що домінують (дивіться Принцип 80-20).

Приклади з практики

В багатьох фізичних, біологічних та штучних явищах спостерігаються розподіли, відповідні степеневому закону в різних масштабах: наприклад, розміри місячних кратерів і сонячних спалахів,^[2] закономірності харчування різних видів,^[3] активність популяцій нейронів,^[4] частота вживання слів в більшості мов, розповсюдженість прізвищ, кількість видів^[en] в кладах організмів,^[5] масштаби аварій в енергосистемах, число карних звинувачень на одного злочинця, кількість вивержень вулканів,^[6] людські оцінки інтенсивності стимулів^[7][8] і багато інших величин.^[9] Емпіричні розподіли можуть відповідати степеневому закону на всьому діапазоні своїх значень, або, наприклад, в хвості. Затухання звукових коливань^[en] проходить за степеневим законом у широких смугах частот у багатьох складних середовищах. Аллометричні закономірності для відношень між біологічними змінними є одними з самих відомих прикладів степеневих законів в природі.

Властивості

Масштабна інваріантність

Докладніше: Інваріантність щодо масштабу

Для степеневого закону характерна масштабна інваріантність. Якщо виконується ${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$, то масштабування аргументу ${\displaystyle x}$ на постійний коефіцієнт ${\displaystyle c}$ призведе до пропорційного масштабування самої функції. Тобто:

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

де ${\displaystyle \propto }$ означає пряму пропорційність. Іншими словами, Множення аргументу на сталу величину ${\displaystyle c}$ призводить просто до множення значень функції на сталу величину ${\displaystyle c^{-k}}$. Таким чином, всі степеневі закони з заданим показником ступеню еквівалентні з точністю до множення на константу, оскільки всі вони являють собою лише масштабування версії один одного. Це породжує лінійну залежність між логарифмами величин ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle x}$, і пряму лінію на графіку у подвійному логарифмічному масштабі (log–log), яку часто вважають характерною ознакою степеневого закону. В реальних даних ця ознака є необхідною, але не достатньою, щоб зробити висновок щодо наявності степеневого закону. Існує багато способів згенерувати скінченні об'єми даних, що імітують відповідність степеневому закону, але відхиляються від нього в асимптотичній межі (наприклад, якщо процес генерації даних підпорядковується логнормальному розподілу). Перевірка моделей на відповідність степеневому закону є актуальною областю досліджень в статистиці, див. нижче.

Відсутність строго визначеного середнього значення

Степеневий закон ${\displaystyle x^{-k}}$ має строго визначене середнє значення при ${\displaystyle x\in [1,\infty )}$, тільки якщо ${\displaystyle k>2}$, і має скінченну дисперсію, тільки якщо ${\displaystyle k>3}$. Для більшості відомих степеневих законів в природі значення показника ступеню такі, що середнє значення є строго визначеним, а дисперсія ні, тому для них існує можливість виникнення подій типу «чорний лебідь».^[10] Це можна показати на прикладі наступного уявного експерименту:^[11] уявіть себе в кімнаті з друзями і оцініть середньомісячний прибуток у цій кімнаті. Тепер уявіть, що в цю кімнату увійшла сама заможна людина у світі з місячним прибутком близько 1 мільярда US$. Як зміниться значення середньомісячного доходу в кімнаті? Розподіл доходів підпорядковується степеневому закону, відомому як розподіл Парето (наприклад, капітали американців, розподіленні за степеневим законом з показником ступеню 2).

З одного боку, це не дозволяє коректно застосовувати традиційну статистику, засновану на дисперсії і середньоквадратичному відхиленні (наприклад, регресійний аналіз). З іншого, це дозволяє здійснювати ефективне за витратами втручання.^[11] Наприклад, нехай шкідливі викиди автомобілів розподіленні по степеневому закону серед автомобілів (тобто більшість забруднень здійснюється дуже невеликим числом автомобілів). Тоді буде достатньо прибрати з доріг цю невелику кількість автомобілів, щоб суттєво знизити цю кількість викидів.^[12]

Медіана існує: для степеневого закону x ^–k с показником ступеню ${\displaystyle k>1}$ вона приймає значення 2^{1/(k — 1)}x_min, де x_min — це мінімальне значення, для якого виконується степеневий закон.^[13]

Універсальність

Еквівалентність степеневого розподілу з особливою масштабною експонентою може скоріше мати пояснення в теорії динамічних процесів, ніж виводитися з відношень степеневого розподілу. У фізиці, наприклад, фазовий перехід в термодинамічних системах асоціюється з появою степеневого розподілу деяких величин, експоненти відносяться до критичних індексів системи. Різні системи з однаковими критичними індексами — це ті, що демонструють ідентичну поведінку при наближенні до критичного значення — може буди продемонстрована за допомогою теорії ренормалізаційних груп, поділяти однакову фундаментальну динаміку. Наприклад, поведінка води та CO₂ в їх точках кипіння потрапляє в однакові класи універсальності, тому, що вони мають однакові критичні індекси.^{[джерело?][прояснити]} По факту, майже вся суть фазових переходів описана невеличкою множиною класів універсальності. Подібні спостереження були зроблені, хоча й не так всеосяжно, для різних самоорганізованих критичних систем, де критичні точки систем — це атрактор. Формально, цей динамічний обмін відноситься до універсальності^[en], і системи з точно такими ж критичними індексами називаються тими, що належать класу універсальності.

Функції степеневого розподілу

Науковий інтерес до відношень степеневого розподілу частково випливає з легкості, з якою деякі поширені класи механізмів їх породжують.^[14] Наявність степеневого розподілу на деяких даних може вказати на специфіку поведінки механізмів, які можуть лежати в основі природного феномену в цьому питанні, та може визначати глибокі зв'язки з іншими, здавалося ніяк не пов'язаними, системами;^[15] див. також універсальність вище. Поширеність степеневого розподілу в фізиці частково походить з обмежень на розмірності, у той час як в складних системах, степеневий розподіл несе відбиток ієрархій або специфічних випадкових процесів. У доволі рідких випадках степеневий розподіл є розподілом Парето, структурною подібністю фракталів або законів масштабування в біологічних системах. Пошук причин виникнення степеневого розподілу та зусилля по його виявленню та доведенню їх в реальному житті є актуальною темою у багатьох галузях науки, включаючи фізику, комп'ютерні науки, мовознавство, геофізику, нейронауку та інші.

Однак, найбільший інтерес до степеневого розподілу походить з розподілу ймовірностей: розподіл великої кількості різноманітних величин здається виводиться з формул степеневого розподілу, принаймні в верхній частині(значні події). Поведінка цих значних подій прив'язує ці величини до вивчення теорії екстремальних значень^[en], яка розглядає частоти вкрай рідкісних подій як біржовий крах та великі стихійні лиха. Це головним чином вивчення статистичних процесів, названих «степеневим розподілом».

В емпіричному контексті, апроксимація в степеневому розподілі ${\displaystyle o(x^{k})}$ зазвичай включає відхилення моменту ${\displaystyle \varepsilon }$, яка може представлятися невизначеністю в спостережених даних (можливість виміру або помилки вибірки) або прокладає простий шлях до спостереження відхилень з функцією степеневого розподілу (можливо для випадкових процесів):

${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .\!}$

Математично, строгий степеневий розподіл не може бути розподілом ймовірностей, але розподіл представлений усіченою степеневою функцією можливий: ${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$ for ${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$ де експонента ${\displaystyle \alpha }$ більше ніж 1, мінімальне значення ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ потребує іншого розподілу, що має нескінченну площу x наближаючись до 0, та константа C — це вимірювальний фактор для забезпечення того, що вся площа буде рівнятися 1, як необхідна умова розподілу ймовірностей. Частіше використовується асимптотичний степеневий розподіл — який вірний тільки в межі; дивіться розподіл ймовірностей степеневого розподілу для більших деталей. Типова експонента спадає в межах ${\displaystyle 2<\alpha <3}$, хоча не завжди.^[9]

Посилання

Примітки

1. Yaneer Bar-Yam. Concepts: Power Law. New England Complex Systems Institute. Процитовано 18 August 2015.
2. Newman, M. E. J. (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Contemporary Physics. 46 (5): 323—351. arXiv:cond-mat/0412004. Bibcode:2005ConPh..46..323N. doi:10.1080/00107510500052444.
3. Humphries NE, Queiroz N, Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW (2010). Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators. Nature. 465 (7301): 1066—1069. Bibcode:2010Natur.465.1066H. doi:10.1038/nature09116. PMID 20531470.
4. Klaus A, Yu S, Plenz D (2011). Zochowski, Michal (ред.). Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches. PLoS ONE. 6 (5): e19779. Bibcode:2011PLoSO...619779K. doi:10.1371/journal.pone.0019779. PMC 3102672. PMID 21720544.{{cite journal}}: Обслуговування CS1: Сторінки із непозначеним DOI з безкоштовним доступом (посилання)
5. Albert, J. S.; Reis, R. E., ред. (2011). Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes. Berkeley: University of California Press.
6. Cannavo, Flavio; Nunnari, Giuseppe (1 березня 2016). On a Possible Unified Scaling Law for Volcanic Eruption Durations. Scientific Reports (англ.). 6: 22289. Bibcode:2016NatSR...622289C. doi:10.1038/srep22289. ISSN 2045-2322. PMC 4772095. PMID 26926425.
7. Stevens, S. S. (1957). On the psychophysical law. Psychological Review, 64, 153—181
8. Staddon, J. E. R. (1978). Theory of behavioral power functions. Psychological Review, 85, 305—320.
9. Clauset, Shalizi та Newman, 2009.
10. Newman, M. E. J.; Reggiani, Aura; Nijkamp, Peter (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Cities. 30 (2005): 323—351. arXiv:cond-mat/0412004. doi:10.1016/j.cities.2012.03.001.
11. 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI
12. Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; Archived copy. Архів оригіналу за 18 березня 2015. Процитовано 14 червня 2015.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
13. Newman, Mark EJ. «Power laws, Pareto distributions and Zipf's law.» Contemporary physics 46.5 (2005): 323—351.
14. Sornette, 2006.
15. Simon, 1955.

Бібліографія

• Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press ISBN 0-19-850164-1
• Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). Power-Law Distributions in Empirical Data. SIAM Review. 51 (4): 661—703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111.
• Laherrère, J.; Sornette, D. (1998). Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales. The European Physical Journal B. 2 (4): 525—539. arXiv:cond-mat/9801293. Bibcode:1998EPJB....2..525L. doi:10.1007/s100510050276.
• Mitzenmacher, M. (2004). A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions (PDF). Internet Mathematics. 1 (2): 226—251. doi:10.1080/15427951.2004.10129088.
• Alexander Saichev, Yannick Malevergne and Didier Sornette (2009) Theory of Zipf's law and beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Volume 632, Springer (November 2009), ISBN 978-3-642-02945-5
• Simon, H. A. (1955). On a Class of Skew Distribution Functions. Biometrika. 42 (3/4): 425—440. doi:10.2307/2333389. JSTOR 2333389.
• Sornette, Didier (2006). Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools. Springer Series in Synergetics (вид. 2nd). Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-30882-9.
• Mark Buchanan (2000) Ubiquity, Weidenfeld & Nicolson ISBN 0-297-64376-2
• Stumpf, M.P.H.; Porter, M.A. (2012). Critical Truths about Power Laws. Science. 335 (6069): 665—6. Bibcode:2012Sci...335..665S. doi:10.1126/science.1216142. PMID 22323807.