Статистичний критерій

Статистичний критерій — строге математичне правило, за яким приймається або відкидається та або інша статистична гіпотеза. Побудовою критерію є вибір відповідної функції від результатів спостережень (ряду емпірично набутих значень ознаки), яка служить для виявлення міри розбіжності між емпіричними значеннями і гіпотетичними^[1].

Визначення

Нехай дано вибірку ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ з невідомо сумісного розподілу ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\mathbf {X} }}$, і сім'я статистичних гіпотез ${\displaystyle H_{0},H_{1},\ldots }$. Тоді статистичним критерієм називається функція, що встановлює відповідність між величинами, що спостерігаються, і можливими гіпотезами:

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \{H_{0},H_{1},\ldots \}}$.

Таким чином кожній реалізації вибірки ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ статистичний критерій зіставляє найбільш відповідну з точки зору цього критерію гіпотезу про розподіл, що породив дану реалізацію.

Види критеріїв

Статистичні критерії підрозділяють на такі категорії:

• Критерій значущості. Перевірка за значущістю припускає перевірку гіпотези про числові значення відомого закону розподілу:

${\displaystyle H_{0}:\quad a=a_{0}}$ — нульова гіпотеза.

${\displaystyle H_{1}:\quad a>a_{0}\quad (a<a_{0})}$ або ${\displaystyle a\neq a_{0}}$ — альтернативна гіпотеза^[en], що конкурує.

• Критерій узгодженості. Перевірка на узгодженість має на увазі, що випадкова величина, що досліджується, підкорюється закону, що розглядається. Критерій узгодженості можна також сприймати, як критерій значущості.
• Критерій однорідності. При перевірці на однорідність випадкові величини досліджуються на факт взаємної відповідності їх законів розподілу (чи підкорюються ці величини одному і тому ж закону). Використовуються у Факторному аналізі для визначення наявності залежностей.

Цей розділ умовний, і часто один і той же критерій може бути використаний в різних якостях.

Основні поняття

• Потужність критерію
• Рівень критерію

Простий приклад

Нехай дано незалежну вибірку ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }}$, де ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {N} (\mu ,1),\quad i=1,\ldots ,n}$. Нехай маємо дві прості гіпотези:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{0}:&\mu =0,\\H_{1}:&\mu =1.\end{matrix}}}$

Тоді можна визначити наступний статистичний критерій:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left\{{\begin{matrix}H_{0},&{\bar {x}}\leq 0.5\\H_{1},&{\bar {x}}>0.5,\end{matrix}}\right.}$

де ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$ — вибіркове середнє.

Непараметричні критерії

Група статистичних критеріїв, які не включають в розрахунок параметри ймовірнісного розподілу і засновані на оперуванні частотами або рангами:

• Q-критерій Розенбаума^[ru]
• U-критерій Манна-Уітні
• Критерій Колмогорова
• Критерій Уілкоксона^[en]

Параметричні критерії

Група статистичних критеріїв, які включають в розранунок параметри ймовірнісного розподілу ознаки (середнього і дисперсії)

• t-критерій Стьюдента
• Критерій відношення правдоподібності
• Критерій узгодженості Пірсона

Див. також

• Перевірка статистичних гіпотез
• Послідовний статистичний критерій
• Пермутаційний тест

Примітки

1. Berger, R. L.; Casella, G. (2001). Statistical Inference, Duxbury Press, Second Edition (p.374)