Вибіркове середнє

Вибіркове (емпіричне) середнє значення — характеристика положення для вибіркового розподілу^[1].

Визначення

Нехай ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ — випадкова вибірка.

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:^[2].

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$.

Властивості вибіркового середнього

• Нехай ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ — функція вибіркового розподілу. Тоді для будь-якого фіксованого ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ функція ${\displaystyle {\hat {F}}(\omega ,x)}$ є (невипадковою) функцією дискретного розподілу.

• Вибіркове середнє — незміщена оцінка теоретичного середнього значення: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\bar {X}}\right]=\mathbb {E} [X_{i}],\quad i=1,\ldots ,n}$.

• Вибіркове середнє — строго конзистентна оцінка теоретичного середнього: ${\displaystyle {\bar {X}}\to \mathbb {E} [X_{i}]}$ майже напевне при ${\displaystyle n\to \infty }$.

• Вибіркове середнє — асимтотично нормальна оцінка. Нехай дисперсія випадкових величин ${\displaystyle X_{i}}$ скінченна і ненульова, тобто ${\displaystyle \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty ,\sigma ^{2}\not =0,\;i=1,\ldots ,n}$. Тоді ${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\bar {X}}-\mathbb {E} [X_{1}]\right)\to \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})}$ за розподілом при ${\displaystyle n\to \infty }$, де ${\displaystyle \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})}$ — нормальний розподіл з середнім ${\displaystyle 0}$ і дисперсією ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

• Вибіркове середнє з нормальної вибірки — ефективна оцінка її середнього.