Система числення Фібоначчі

Система числення Фібоначчі — змішана система числення для цілих чисел на основі чисел Фібоначчі ${\displaystyle F_{2}=1}$, ${\displaystyle F_{3}=2}$, ${\displaystyle F_{4}=3}$, ${\displaystyle F_{5}=5}$, ${\displaystyle F_{6}=8}$ і т. д.

Число	Запис у СЧФ	код Фібоначчі
0	0……0
F2=1	1	11
F3=2	10	011
F4=3	100	0011
4	101	1011
F5=5	1000	00011
6	1001	10011
7	1010	01011
F6=8	10000	000011
…
Fn − 1	101010…	…0101011
Fn	10……00	00……011
Fn + 1	10……01	10……011

Подання натуральних чисел

Будь-яке невід'ємне ціле число ${\displaystyle a}$ можна єдиним чином подати послідовністю бітів ${\displaystyle \dots \varepsilon _{k}\dots \varepsilon _{4}\varepsilon _{3}\varepsilon _{2}}$ (${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \{0,1\}}$) так що ${\displaystyle a=\sum _{k}\varepsilon _{k}F_{k}}$, причому послідовність ${\displaystyle \{\varepsilon _{k}\}}$ містить лише скінченне число одиниць, і не має пар сусідніх одиниць: ${\displaystyle \forall k\geq 2:(\varepsilon _{k}=1)\Rightarrow (\varepsilon _{k+1}=0)}$. За винятком останньої властивості, дане подання аналогічне двійковій системі числення .

Обґрунтування

В основі лежить теорема Цекендорфа^[1]: будь-яке невід'ємне ціле число можна єдиним чином подати у вигляді суми деякого набору чисел Фібоначчі з індексами більшими від одиниці, який не містить пар сусідніх чисел Фібоначчі.

Доведення існування легко провести за індукцією. Будь-яке ціле число ${\displaystyle a\geq 1}$ потрапить у проміжок між двома сусідніми числами Фібоначчі, тобто для деякого ${\displaystyle n\geq 2}$ виконується нерівність: ${\displaystyle F_{n}\leq a<F_{n+1}}$ . Таким чином, ${\displaystyle a=F_{n}+a'}$, де ${\displaystyle a'=a-F_{n}\ <\ F_{n-1}}$, Так що розкладання числа ${\displaystyle a'}$ вже не буде містити доданка ${\displaystyle F_{n-1}}$.

Використання

Юпана

Юпана

Припускають, що деякі різновиди юпани (абака інків) використовували систему числення Фібоначчі, щоб мінімізувати необхідне для обчислень число зерен^[2].

У теорії інформації

На основі системи числення Фібоначчі будується код (кодування) Фібоначчі — універсальний код^[ru] для натуральних чисел (1,   2,   3 …), який використовує послідовності бітів. Оскільки комбінація   11 заборонена в системі числення Фібоначчі, її можна використовувати як маркер кінця запису.

Для складання коду Фібоначчі за записом числа в системі числення Фібоначчі слід переписати цифри у зворотному порядку (так, що старша одиниця виявляється останнім символом) і приписати в кінці ще раз   1 (див. таблицю). Тобто, кодова послідовність має вигляд:

ε₂ε₃…ε_n1,

де n — номер найстаршого розряду з одиницею.

Арифметика

Додавання чисел у позиційних системах числення виконується з використанням переносу, що дозволяє усувати наслідки переповнення розряду. Наприклад, у двійковій системі: 01 + 01 = 02 = 10.

У системі числення Фібоначчі ситуація складніша:

• По-перше, вага старших розрядів не є кратною вазі розряду, з якого виконується перенесення. При додаванні двох одиниць в одному розряді потрібне перенесення не тільки вліво, але й управо: 0200 = 1001. При перенесенні у відсутні розряди ε₁ і ε₀ слід пам'ятати, що F₁=1=F₂ і F₀=0.
• По-друге, потрібно позбавлятися від сусідніх одиниць: 011 = 100. Правило для розкриття двійок є наслідком цієї рівності: 0200 = 0100 + 0011 = 0111 = 1001.

Узагальнення на дійсні числа

Число	Подання через степінь  ${\displaystyle \varphi }$
1	1
2	10,01
3	100,01
4	101,01
5	1000,1001
6	1010,0001
7	10000,0001
8	10001,0001
9	10010,0101
10	10100,0101
11	10101,0101
12	100000,101001
13	100010,001001
14	100100,001001

Схоже влаштована позиційна система числення з ірраціональною основою, рівною золотому перетину ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$.

Будь-яке дійсне число ${\displaystyle x}$ з відрізка ${\displaystyle [0,1]}$ допускає розкладання в ряд через від'ємні степені золотого перетину:

${\displaystyle x=\sum _{k=-1}^{-\infty }\varepsilon _{k}\varphi ^{k},\qquad \varepsilon _{k}\in \{0,1\}}$

де ${\displaystyle \left\{\varepsilon _{k}\right\}}$ має ту ж властивість відсутності сусідніх одиниць. Коефіцієнти знаходяться послідовним порівнянням ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ — золотим перетином відрізка ${\displaystyle [0,1]}$, відніманням ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ (якщо ${\displaystyle \varepsilon _{k}=1}$) і множенням на ${\displaystyle \varphi }$. З цього неважко бачити, що будь-яке невід'ємне дійсне число допускає розкладання:

${\displaystyle a=\sum _{k=N-1}^{-\infty }\varepsilon _{k}\varphi ^{k}\,,}$

де N таке, що ${\displaystyle a<\varphi ^{N}}$. Зрозуміло, слід вважати, що ${\displaystyle \varepsilon _{k}=0}$ для всіх ${\displaystyle k\geqslant N}$.

Ці формули повністю аналогічні формулам для звичайних позиційних систем з цілими основами. Виявляється, що будь-яке невід'ємне ціле число (і, більш загально, кожен невід'ємний елемент кільця ${\displaystyle {\mathbb {Z} }+\varphi {\mathbb {Z} }}$) має подання лише зі скінченною кількістю одиниць, тобто у вигляді скінченної суми неповторюваних степенів золотого перетину.^[3]

Аналогія між числами Фібоначчі і степенями золотого перетину заснована на однаковій формі тотожностей:

${\displaystyle F_{k}=F_{k-1}+F_{k-2}}$

${\displaystyle \varphi ^{k}=\varphi ^{k-1}+\varphi ^{k-2}}$

які дозволяють усунення сусідніх одиниць. Прямого зв'язку між поданням натуральних чисел в системі золотого перетину і в системі Фібоначчі немає.

Правила додавання аналогічні показаним вище з тією поправкою, що перенесення в бік молодших розрядів поширюється без обмеження. У даній системі числення можна виконувати й множення.

Множення Фібоначчі

Для цілих чисел ${\displaystyle a=\sum _{k}\varepsilon _{k}F_{k}\ }$ і ${\displaystyle b=\sum _{l}\zeta _{l}F_{l}\ }$ можна визначити «множення»^[4]

${\displaystyle a\circ b=\sum _{k,l}\varepsilon _{k}\zeta _{l}F_{k+l},}$

аналогічне множенню чисел у двійковій системі числення.

Зрозуміло, що дана операція не є справжнім множенням чисел, і виражається формулою:^[5]

${\displaystyle a\circ b=3ab-a\lfloor (b+1)\varphi ^{-2}\rfloor -b\lfloor (a+1)\varphi ^{-2}\rfloor ,}$

де ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ — ціла частина, ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотий перетин .

Ця операція має асоціативність, що вперше зауважив Дональд Кнут^[6]. Слід зазначити, що інше «множення» ${\displaystyle \sum _{k,l}\varepsilon _{k}\zeta _{l}F_{k+l-2},}$ відрізняється лише зсувом на два розряди, вже не є асоціативним.

Примітки

1. Эдуард Цекендорф. Архів оригіналу за 6 травня 2017. Процитовано 15 грудня 2019. [Архівовано 2017-05-06 у Wayback Machine.]
2. Antonio Aimi, Nicolino De Pasquale. Andean Calculators (PDF). Процитовано 12 грудня 2009.
3. Система числення на основі золотого перетину^[en]
4. послідовність A101330 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS(англ.), Теорема Цекендорфа
5. Notes on the Fibonacci circle and arroba products(англ.)
6. D. E. Knuth.  // Applied Mathematics Letters. — 1988. — Т. 1, № 1. — С. 57—60. — DOI:10.1016/0893-9659(88)90176-0.

Література

• Воробьёв Н. Н. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике)(рос.)

• Система счисления Фибоначчи, реализация на C++. — 2014. Архівовано з джерела 16 жовтня 2014.(рос.)