Розкладання на прості дроби

Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на прості дроби) (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.

Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше.

Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$

де ƒ і g є многочленами, до виразу форми

${\displaystyle \sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}}$

де g_j (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже, розклад на прості дроби можна розглядати як процедуру обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, результатом якої є єдиний алгебраїчний дріб з чисельником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, g факторизується на стільки, на скільки це можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:

• знаменник кожного виразу степінь незвідного многочлена і
• чисельник — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня чисельника напряму, можна використати евклідове ділення многочленів, але якщо ƒ меншого степеня ніж g це не допоможе.

Приклади

Приклад 1

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}$

Тут знаменник можна розкласти на два різні лінійні множники:

${\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}$

Отже, ми маємо такий розклад

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}$

Множення на x² + 2x − 3 дає нам таке рівняння

${\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}$

Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4. Отже,

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}$

Приклад 2

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}$

Після ділення многочленів, ми маємо

${\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$

Оскільки (−4)² − 4×8 = −16 < 0, множник x² − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий

${\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}$

Множачи на x³ − 4x² + 8x, отримуємо тотожність

${\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x}$

Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x² ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,

${\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}$

Приклад 3

Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в розв'язанні за допомогою СКА.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$

Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо

${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}$

Розклавши на прості дроби отримує таку форму

${\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}}$

Множачи на (x − 1)³(x² + 1)² переходимо до тотожних многочленів

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}}$

Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо A − B + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = A − B.

Маємо тотожність

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\&=A((x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+(x-1)^{3}(x^{2}+1))+B((x-1)(x^{2}+1)-(x-1)^{3}(x^{2}+1))+(x^{2}+1)^{2}+Dx(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\end{aligned}}}$

Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}}$

Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що

${\displaystyle {\begin{aligned}A+D&=&2\\-A-3D&=&-4\\2B+4D+1&=&5\\-2B-4D+1&=&-3\\-A+2B+3D-1&=&1\\A-2B-D+3&=&3,\end{aligned}}}$

з A = 2 − D і −A −3 D =−4 випливає, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = A − B = 1, F = 0 і G = 1.

Отже, розклад на прості дроби для ƒ(x) такий

${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$

Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)^mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.) Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає

${\displaystyle 2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (2+0)+8+D\cdot 0}$

тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.

Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби

Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області комплексних або дійсних чисел на найпростіші дроби.

Нехай ${\displaystyle p(z)}$ і ${\displaystyle q(z)}$ — многочлени з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена ${\displaystyle p(z)}$ менше степені многочлена ${\displaystyle q(z)}$, коефіцієнт при старшому члені многочлена ${\displaystyle q(z)}$ дорівнює 1, ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,..,k\}}$ ― корені многочлена ${\displaystyle q(z)}$ з кратностями ${\displaystyle \alpha _{i}}$, отже,

${\displaystyle q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k})^{\alpha _{k}}}$

Функція ${\displaystyle p/q}$ може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів

${\displaystyle {\frac {p(z)}{q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{\frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},}$

де ${\displaystyle A_{i,j}}$ ― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені ${\displaystyle q}$). Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до системи лінійних рівнянь відносно ${\displaystyle A_{i,j}}$.

Примітка. Знаходження невідомих можна спростити, якщо ${\displaystyle q(z)}$ має некратні корені ${\displaystyle z_{j}}$. Після множення на ${\displaystyle z-z_{j}}$ останньої рівності і підстановки ${\displaystyle z=z_{j}}$ безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта ${\displaystyle A_{j}={\frac {p(z_{j})}{\prod \limits _{i\neq j}(z_{j}-z_{i})^{\alpha _{i}}}}}$.

Джерела

• Корн Г., Корн Т. (1977). Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. с. 832 с.

Див. також

• Розкладання дробів при інтегруванні

Посилання

• Weisstein, Eric W. Розклад на прості дроби(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.