Резонанс Гельмгольца

Резонанс Гельмгольца — явище резонансу повітря в порожнині, прикладом якого є гудіння порожньої пляшки від потоку повітря спрямованого перпендикулярно до її шийки. Резонатор Гельмгольца — мідна посудина сферичної форми з відкритою горловиною, винайдена Гельмгольцом близько 1850 року для аналізу акустичних сигналів. На основі спостережуваних у ньому явищ Гельмгольцом і Релєєм розроблена кількісна теорія резонансу даного типу^[1].

Мідний сферичний резонатор Гельмгольца, створений на основі початкового дизайну близько 1890—1900 років

Якісне пояснення

Коли повітря нагнітається в порожнину, тиск у ній зростає. Коли зовнішня сила, що нагнітає повітря в порожнину, зникає, підвищений тиск змушує повітря витікати назад. Через деякий час тиск всередині і зовні зрівняється, але повітря все одно продовжить виходити назовні, оскільки струмінь повітря в шийці володіє масою і ненульовою швидкістю, а значить, і кінетичної енергією. Через деякий час повітря перестане виходити з порожнини, і при цьому тиск всередині порожнини буде меншим від зовнішнього тиску. Повітря знову почне заходити в порожнину. Цей цикл буде повторюватися багато разів, зі згасною амплітудою. Частота циклу (власна, або резонансна частота) залежить від форми порожнини. Якщо зовнішня сила буде виникати і зникати з частотою, що дорівнює власній частоті порожнини, виникне резонанс — коливання повітря не будуть затухати.

Кількісне пояснення

Модель резонатора Гельмгольца

Можна показати^[2], що власна кутова частота коливань дорівнює

${\displaystyle \omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {A^{2}}{m}}{\frac {P_{0}}{V_{0}}}}},}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — показник адіабати, значення якого зазвичай дорівнює 1,4 для повітря і двоатомних газів; ${\displaystyle A}$ — площа перерізу шийки; ${\displaystyle m}$ — маса повітря в шийці; ${\displaystyle P_{0}}$ — статичний тиск у порожнині; ${\displaystyle V_{0}}$ — статичний об'єм порожнини.

Для циліндричних шийок

${\displaystyle A={\frac {V_{n}}{L}},}$

де: ${\displaystyle L}$ — довжина шийки, ${\displaystyle V_{n}}$ — обсяг повітря в шийці, тому

${\displaystyle \omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {A}{m}}{\frac {V_{n}}{L}}{\frac {P_{0}}{V_{0}}}}}.}$

За визначенням густини :

${\displaystyle {\frac {V_{n}}{m}}={\frac {1}{\rho }},}$

тому

${\displaystyle \omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {P_{0}}{\rho }}{\frac {A}{V_{0}L}}}},}$

і

${\displaystyle f_{\text{H}}={\frac {\omega _{H}}{2\pi }},}$

де ${\displaystyle f_{H}}$ — резонансна частота.

Швидкість звуку в газах дорівнює

${\displaystyle v={\sqrt {\gamma {\frac {P_{0}}{\rho }}}},}$

тому можна виразити резонансну частоту через неї:

${\displaystyle f_{\text{H}}={\frac {v}{2\pi }}{\sqrt {\frac {A}{V_{0}L}}}.}$

Довжина шийки з'являється в знаменнику тому, що інерція повітря в шийці пропорційна масі повітря в ній, а отже, і довжині. Об'єм з'являється в знаменнику тому, що коефіцієнт стисливості повітря в порожнині обернено пропорційний об'єму. Площа перетину шийки впливає двояко — що більша площа, то більша маса повітря в шийці і менша швидкість, з якою повітря рухається всередину й назовні.

Ця формула має межі застосування, які залежать від форми шийки і товщини стінок резонатора. Виходячи з приблизно такої ж фізичної моделі можна отримати більш точну формулу^[3]. Крім цього, якщо швидкість потоку поруч з резонатором висока (понад 0,3 числа Маха), необхідно вводити додаткові поправки.

Застосування

Резонанс Гельмгольца застосовується у двигунах внутрішнього згоряння і в акустичних системах. Системи упорскування палива, звані системами Гельмгольца, використовувалися у двигунах Chrysler V10, якими комплектувалися автомобілі Dodge Viper і пікапи Ram, а також у мотоциклах Buell^[ru].

У струнних інструментах з порожнистою декою, таких, як гітара або скрипка, один з піків кривої резонансу — це резонанс Гельмгольца (решта — це резонансні частоти дерев'яних частин інструменту). Окарина — резонатор із змінним перерізом шийки. Західноафриканський барабан джембе має відносно вузьку шийку, що надає йому глибокого басового тону.

Теорія резонансу Гельмгольца використовується під час проектування вихлопних труб автомобілів і мотоциклів, з метою зробити звук двигуна тихішим або гарнішим.

Примітки

1. Helmholtz, Hermann von (1885), On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music, Second English Edition, translated by Alexander J. Ellis. London: Longmans, Green, and Co., p. 44. Retrieved 2010-10-12.
2. Derivation of the equation for the resonant frequency of an Helmholtz resonator [Архівовано 2017-02-28 у Wayback Machine.].
3. Formulas of Acoustics.

Література

• Hermann von Helmholtz. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music / Alexander John Ellis. — Longmans, Green, 1885. — 576 с.
• Колебания и волны. Лекции. В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев (Физический факультет МГУ) Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.

Посилання

• Oxford Physics Teaching, History Archive, «Exhibit 3 — Helmholtz resonators» (фотоархів)
• HyperPhysics Acoustic Laboratory
• HyperPhysics Cavity Resonance
• Beverage Bottles as Helmholtz Resonators // Science Project Idea for Students
• Helmholtz Resonance