Парні та непарні функції

Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.

Парні функції

Приклад парної функції: f(x) = x²

Функція ${\displaystyle f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ називається парною, якщо для будь-якого ${\displaystyle x}$ з області визначення функції виконується рівність${\displaystyle f(-x)=f(x)}$.^[1][2][3]

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.^[2]

Приклади парних функцій:

• ${\displaystyle y=|x|}$
• ${\displaystyle y=x^{2}}$
• ${\displaystyle y=\cos x}$

Алгоритм дослідження функції ${\displaystyle y=f(x)}$ на парність:

• Знайти для функції ${\displaystyle y=f(x)}$ область визначення функції ${\displaystyle D(y)}$ та встановити чи симетрична ${\displaystyle D(y)}$ відносно нуля.
• Якщо область визначення функції ${\displaystyle D(y)}$ симетрична відносно нуля, тоді:
  • скласти вираз ${\displaystyle f(-x)}$;
  • порівняти ${\displaystyle f(-x)}$ та${\displaystyle f(x)}$ , якщо функція ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ для будь-якого значення ${\displaystyle x}$ з області визначення функції ${\displaystyle D(y)}$, то функція ${\displaystyle y=f(x)}$ — парна.

Приклад

Дослідити на парність функцію ${\displaystyle y=4x^{6}-3x^{4}+5}$

Розв'язання: ${\displaystyle f(-x)=4(-x)^{6}-3(-x)^{4}+5=4(x)^{6}-3(x)^{4}+5=f(x)}$, отже функція парна.

Якщо точка ${\displaystyle M(a;b)}$ належить графіку парної функції ${\displaystyle f}$, то точка ${\displaystyle M(-a;b)}$ також належить її графіку.^[4]

Непарні функції

Приклад непарної функції: f(x) = x³.

Функція ${\displaystyle f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ називається непарною, якщо для будь-якого ${\displaystyle x}$ з області визначення функції виконується рівність${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$.^[1][2][3]

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.^[2]

Приклади непарних функцій

• ${\displaystyle y=-x}$
• ${\displaystyle y=x^{3}}$
• ${\displaystyle y=\sin x}$

Алгоритм дослідження функції ${\displaystyle y=f(x)}$ на непарність:

• Скласти вираз ${\displaystyle f(-x)}$, для цього у функції ${\displaystyle y=f(x)}$ замінити аргумент ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle -x}$;
• Порівняти ${\displaystyle f(-x)}$ і ${\displaystyle -f(x)}$, якщо ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$, то функція — непарна.

Приклад

З'ясувати, чи функція ${\displaystyle f(x)=3x^{5}-8x^{3}}$ — парна, непарна або загального виду.

${\displaystyle f(-x)=3(-x)^{5}-8(-x)^{3}=-3x^{5}+8x^{3}=-(3x^{5}-8x^{3})=-f(x)}$, тобто, функція непарна.

Якщо точка ${\displaystyle M(a;b)}$ належить графіку непарної функції ${\displaystyle f}$, то точка ${\displaystyle M(-a;-b)}$ також належить її графіку.^[4]

Основні властивості

• Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією.^[5]
• Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією.^[5]
• Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією.^[5]
• Як для парної, так і для непарної функцій справедливо ${\displaystyle \left|f(x)\right|=\left|f(-x)\right|}$.^[5]
• Розклад в ряд Маклорена парної функції містить лише члени з парними степенями.^[6]
• Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями.^[7]
• Похідна парної функції — непарна; похідна непарної функції — парна.^[6][7]

Декомпозиція функцій

Довільну функцію ${\displaystyle f(x)}$ одного змінного, визначену в симетричній відносно початку координат області (разом із ${\displaystyle x}$ до області визначення належить і ${\displaystyle -x}$), можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій:^[2][5]

${\displaystyle f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$

Тут перший доданок є парною, а другий — непарною функцією.

Див. також

• Парна функція
• Непарна функція

Примітки

1. Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Х.: Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9.
2. Гельфанд И.М.; Глаголева Е.Г.; Шноль Э.Э. (1968). Функции и графики (основные приёмы). Математика. Библиотека физико-математической школы (російською) . М.: Наука.
3. Парні та непарні функції. miyklas.com.ua. Архів оригіналу за 10 листопада 2021. Процитовано 11 листопада 2021.
4. Мерзляк, А.Г.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2017). Алгебра 9 клас. Гімназія.
5. Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — 320 с.(рос.)
6. W., Weisstein, Eric. Even functions. Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021.
7. W., Weisstein, Eric. Odd function. Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021.

Джерела

• Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Гімназія. ISBN 978-966-474-311-9.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)