Міра Гаусдорфа

Міра Гаусдорфа — збірна назва класу мір, визначених на борелівській ${\displaystyle \sigma }$-алгебрі ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ метричного простору ${\displaystyle X}$.

Визначення

Ф. Гаусдорф розглядав ^[1] деякий клас ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ відкритих множин ${\displaystyle X}$, на якому визначив невід'ємну функцію ${\displaystyle l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}}$ і

${\displaystyle \lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},}$

де нижня межа береться по всіх скінченних або зліченних покриттях борелівської множини ${\displaystyle B\subset X}$ множинами з ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ з діаметром, що не перевищує ${\displaystyle \varepsilon }$, тобто

${\displaystyle B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}}$

і

${\displaystyle \mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad n=1,\;2,\;\ldots }$

Мірою Гаусдорфа ${\displaystyle \lambda }$, що визначається класом ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ і функцією ${\displaystyle l}$, називається межа

${\displaystyle \lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).}$

Приклади

1. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — сукупність всіх куль на ${\displaystyle X}$, a ${\displaystyle l(A)=(\mathrm {diam} \,A)^{\alpha }}$, де ${\displaystyle \alpha >0}$. Тоді відповідна міра ${\displaystyle \lambda }$ буде називатися ${\displaystyle \alpha }$-мірою Гаусдорфа. При ${\displaystyle \alpha =1}$ така міра буде називатися лінійною мірою Гаусдорфа, а при ${\displaystyle \alpha =2}$ — пласкою мірою Гаусдорфа.
2. Якщо ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n+1}}$, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — сукупність циліндрів з кульовими основами і осями, паралельними до напрямку осі ${\displaystyle x_{n+1}}$ и ${\displaystyle l(A)}$ рівна ${\displaystyle n}$-мірному об'єму осьового перерізу циліндра ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$, то відповідна міра Гаусдорфа називається циліндричною мірою.

Література

• Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..