Логічна імплікація

Імплікація — логічний сполучник «якщо …, то …», тобто оператор між множиною T формул та формулою B, що виконується, якщо кожна модель (або інтерпретація) T також є моделлю B. У символьному вигляді:

1. ${\displaystyle T\models B}$,
2. ${\displaystyle T\Rightarrow B}$
3. ${\displaystyle T\to B}$
4. ${\displaystyle T\therefore B}$

IMPLY
Визначення	${\displaystyle a\rightarrow b}$
Таблиця істинності	${\displaystyle (1011)}$
Логічний вентиль
Нормальні форми
Диз'юнктивна	${\displaystyle {\overline {a}}+b}$
Кон'юнктивна	${\displaystyle {\overline {a}}+b}$
Алгебрична	${\displaystyle 1\oplus a\oplus ab}$
Ґратка Поста
${\displaystyle P_{0}}$ (зберігає 0)	✗
${\displaystyle P_{1}}$ (зберігає 1)	Так
${\displaystyle M}$ (монотонна)	✗
${\displaystyle L}$ (лінійна)	✗
${\displaystyle S}$ (само-двоїста)	✗

Двомісна логічна операція, що має значення «хибність», тоді й лише тоді, коли перший операнд має значення «істина», а другий — «хибність».

Логічну імплікацію можна задати через інші логічні операції, наприклад:

${\displaystyle A\to B\equiv \neg A\lor B}$

Визначення

Таблиця істинності виглядає таким чином:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\to B}$
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

Імплікація як булева функція хибна лише тоді, коли посилка істинна, а наслідок хибний. Іншими словами, імплікація ${\displaystyle A\to B}$ - це скорочений запис для виразу ${\displaystyle (\neg A)\lor B}$.

Методи запам'ятовування таблиці істинності

Для більш легкого розуміння сенсу прямої імплікації і запам'ятовування її таблиці істинності варто згадати, що в теорії множин різниця двох множин А-В матиме таблицю належності (0 0 1 0). А заперечення різниці множин НЕ(А-В) і буде давати (1 1 0 1), що в алгебрі логіки назвали імплікацією. Також, можна навести для прикладу деякі життєві моделі:

А - начальник. Він може наказати «працюй» (1) або сказати «роби, що хочеш» (0). В - підлеглий. Він може працювати (1) або байдикувати (0). У такому випадку імплікація - не що інше, як послух підлеглого начальнику. За таблицею істинності легко перевірити, що слухняності немає тільки тоді, коли начальник наказує працювати, а підлеглий ледарює.

Начальник	Підлеглий	Слухняність
Роби що хочеш	Байдикує	Є
Роби що хочеш	Працює	Є
Працюй	Байдикує	Немає
Працюй	Працює	Є

А – предмет студента. Студент може його «знати» (1) або «не знати» (0). В – сесія студента. Сесію можна скласти (1) або не скласти (0). У такому випадку імплікація – істинність існування заліку/незаліку.

Предмет	Сесія	Правдивість здачі сесії
Не знає предмет	Не складає сесію	Правда
Не знає предмет	Складає сесію	Правда (бо може таке бути)
Знає предмет	Не складає сесію	Неправда
Знає предмет	Складає сесію	Правда

Властивості

• ${\displaystyle a\to b\equiv (\lnot b)\rightarrow (\lnot a)}$

Функціональна повнота

Множини операцій ${\displaystyle \{\to ,\lnot \},\{\to ,\bot \},\{\to ,\not \to \},\{\to ,\not \leftrightarrow \}}$ є функціонально повними:

${\displaystyle a\not \to a\equiv \bot }$

${\displaystyle a\not \leftrightarrow a\equiv \bot }$

${\displaystyle \lnot a\equiv a\to \bot }$

${\displaystyle a\lor b\equiv (\lnot a)\rightarrow b}$

${\displaystyle a\land b\equiv \lnot (a\rightarrow \lnot b)}$

${\displaystyle a\;|\;b\equiv a\to \lnot b}$

${\displaystyle a\downarrow b\equiv \lnot ((\lnot a)\rightarrow b)}$

...

Булева логіка

У булевій логіці імплікація - це функція від двох змінних (вони ж – операнди операції, аргументи функції). Змінні можуть приймати значення з ${\displaystyle ~\{0,1\}}$. Результат також належить ${\displaystyle ~\{0,1\}}$. Обчислення результату проводиться за простим правилом, або за таблицею істинності. Замість значень ${\displaystyle ~0,1}$ може використовуватися будь-яка інша пара підходящих символів, наприклад ${\displaystyle ~false,true}$ або ${\displaystyle ~F,T}$ або «хибність», «істина».

Див. також

• Логіка
• Алгебра логіки (булева алгебра)
• Таблиця математичних символів
• Теорема про дедукцію

Література

• Імплікація // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X. — С. 238

Посилання

• Імплікація // Літературознавча енциклопедія : у 2 т. / авт.-уклад. Ю. І. Ковалів. — Київ : ВЦ «Академія», 2007. — А — Л. — С. 415.