Кусково-лінійна функція

Кусково-лінійна функція — функція, визначена на множині дійсних чисел, лінійна на кожному з інтервалів, що становлять область визначення.

Кусково-лінійна функція

Функція (синя) і її кусково-лінійна апроксимація (червона).

Кусково-лінійна функція у двох вимірах (вгорі) й опуклі багатогранники, на яких вона лінійна (внизу).

Формальне визначення й задавання

Нехай задані ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}}$ — точки зміни формул.

Як і всі кусково-задані функції, кусково-лінійну функцію зазвичай задають на кожному з інтервалів ${\displaystyle (-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )}$ окремою формулою. Записують це у вигляді: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{0}x+b_{0},\quad x<x_{1}\\k_{1}x+b_{1},\quad x_{1}<x<x_{2}\\\cdots \\k_{n}x+b_{n},\quad x_{n}<x\end{cases}}}$

Якщо до того ж виконані умови узгодження

${\displaystyle a_{i-1}x_{i}+b_{i-1}=a_{i}x_{i}+b_{i}=f(x_{i})}$ при ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$,

то кусково-лінійна функція буде неперервною. Неперервна кусково-лінійна функція називається також лінійним сплайном.

Альтернативне задавання

Можна довести, що будь-яку неперервну кусково-лінійну функцію можна задати деякою формулою виду

${\displaystyle f(x)=ax+b+c_{1}|x-x_{1}|+c_{2}|x-x_{2}|+\ldots +c_{n}|x-x_{n}|}$.

При цьому всі коефіцієнти, крім b, можна виразити через кутові коефіцієнти нахилу прямих на окремих інтервалах:

${\displaystyle c_{i}={\frac {k_{i}-k_{i-1}}{2}}}$, при ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$

${\displaystyle a={\frac {k_{0}+k_{n}}{2}}}$

Властивості

• Будь-яку неперервну функцію можна апроксимувати як завгодно близько кусково-лінійною функцією (у безперервній метриці).

Див. також

• Лінійна інтерполяція
• Сплайн-інтерполяція

Джерела

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 272–274. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Кусково-лінійні функції у словнику

Посилання

• Завдання за темою Кусково-лінійні функції [Архівовано 20 лютого 2009 у Wayback Machine.]