Лінійна функція

Ліні́йна фу́нкція — в математиці, позначає два споріднені поняття:

1. Лінійну функцію в елементарній математиці,
2. Лінійне відображення у вищій математиці.

Лінійна функція

Три графіки лінійних функцій — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Докладніше: Лінійне рівняння

Лінійна функція задається рівнянням:

${\displaystyle y=kx+b}$.

Лінійна функція зростає при ${\displaystyle k>0}$ та спадає при ${\displaystyle k<0}$. Графіком лінійної функції є пряма лінія, що проходить через точку ${\displaystyle M(0,b)}$ паралельно графіку функції ${\displaystyle y=kx}$. Якщо ${\displaystyle k=0}$, графік лінійної функції є пряма, паралельна осі абсцис, що проходить через точку ${\displaystyle b}$ на осі ординат.^[1]

Функція виду ${\displaystyle y=kx}$ проходить через початок координат, і утворює з віссю абсцис кут, тангенс якого дорівнює коефіцієнту пропорційності ${\displaystyle k}$.^[2]

Лінійне відображення

Докладніше: Лінійне відображення

Лінійним відображенням (лінійним перетворенням, лінійним оператором) ${\displaystyle f}$ називається відображення векторного простору ${\displaystyle V}$ в векторний простір ${\displaystyle W}$

${\displaystyle f\colon \ V\to W,}$

що має властивість лінійності:^[3]

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad \forall x,y\in V,}$    (адитивність)

${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)\qquad \forall x\in V,}$    (однорідність)

Лінійний оператор — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення «неперервний» зазвичай опускається.

Нелінійні функції

Для функцій, які не є лінійними (тобто досить довільних), коли хочуть підкреслити деякі характеристики, вживають термін нелінійні функції. Зазвичай це відбувається, коли функціональну залежність спочатку наближають лінійною, а потім переходять до вивчення більш загального випадку, часто починаючи з молодших ступенів, наприклад розглядаючи квадратичні поправки.

Те ж відноситься і до вживання слова нелінійні щодо інших об'єктів, що не мають властивості лінійності, наприклад — нелінійні диференціальні рівняння.

Див. також

• Портал «Математика»

• Сублінійна функція
• Мультилінійна функція
• Функція (математика).
• Пряма, Парабола, Гіпербола.

Примітки

1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка».
2. Рывкин А. А., Рывкин А. З., Хренов Л. С. (1964). Справочник по математике. Москва: Высшая школа.
3. ван-дер Варден Б. Л. (1979). Алгебра. Москва: Наука.

Посилання

• Основні елементарні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 177. — 594 с.