Доказові обчислення

Доказові обчислення — цілеспрямовані комп'ютерні обчислення, комбіновані з аналітичними дослідженнями, які призводять до строгого встановлення нових фактів і доведення теорем^[1].

Достовірні обчислення

Одним із часто застосовуваних методів доказових обчислень є достовірні обчислення. Під достовірними обчисленнями мають на увазі чисельні методи з автоматичною верифікацією точності одержуваних результатів^[2]. Досить часто доказові обчислення будуються на основі інтервального аналізу, де замість дійсних чисел розглядаються інтервали, які визначають точність величин. Інтервальний аналіз широко застосовується для обчислень з гарантованою точністю в умовах машинної арифметики.

Приклади

У теорії чисел

Завдяки тому, що теорія чисел багато в чому оперує цілими числами, використання доказових обчислень у теорії чисел виявляється дуже плідним.

• Стверджується, що число Мерсенна ${\displaystyle M_{43112609}=2^{43112609}-1}$ є простим. Перевірити цей факт теоретично може людина, але практично — лише з використанням обчислювальної техніки.
• Л. Ейлер висунув гіпотезу, що рівняння ${\displaystyle x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=x_{5}^{5}}$ не має розв'язків у цілих додатних числах. Проте пізніше було показано, що існує принаймні один розв'язок:

${\displaystyle x_{1}=27}$, ${\displaystyle x_{2}=84}$, ${\displaystyle x_{3}=110}$, ${\displaystyle x_{4}=133}$, ${\displaystyle x_{5}=144}$.

Причому цей розв'язок знайдено шляхом перебору на комп'ютері^[1].

У теорії графів

Одним з найвідоміших успішних застосувань доказових обчислень у теорії графів є розв'язання проблеми чотирьох фарб. Цю відому задачу поставлено 1852 року і сформульовано так: «з'ясувати, чи можна кожну розташовану на сфері карту розфарбувати чотирма фарбами так, щоб будь-які дві ділянки, які мають спільну межу, були розфарбовані в різні кольори». 1976 року К. Аппель^[en] і В. Гакен^[en] за допомогою доказових обчислень показали, що так можна розфарбувати будь-яку карту.

У гідродинаміці

Застосуванням доказових обчислень у математичних задачах гідродинаміки систематично займалися в Інституті прикладної математики ім. М. В. Келдиша РАН під керівництвом К. І. Бабенка^[ru]. Прикладом є така теорема, отримана з допомогою доказових обчислень^[3]:

Теорема. При ${\displaystyle \alpha =1.02}$ і ${\displaystyle R=6000}$ спектральна задача Орра — Зоммерфельда має власне значення, яке лежить у півплощині ${\displaystyle \mathrm {Re} \,\lambda >0}$. Отже, в лінеаризованій постановці за цих параметрів течія Пуазейля нестійка.

Ще приклади

• Проблема трійок Буля — Піфагора.
• Класифікація багатогранників Джонсона.

Див. також

• Доведення
• Експериментальна математика

Примітки

1. Бабенко К. И. . Основы численного анализа. — М. : Наука, 1986.
2. Кулиш У., Рац Д., Хаммер Р., Хокс М. Достоверные вычисления. Базовые численные методы. — РХД, 2005.
3. Бабенко К. И., Васильев М. М. О доказательных вычислениях в задаче об устойчивости течения Пуазейля // ДАН СССР. — 1983. — Т. 273, № 6 (10 листопада). — С. 1289—1294.

Література

• Панков П.С. Доказательные вычислениях на электронно-вычислительных машинах. — Фрунзе : Илим, 1978. — 179 с.
• К. И. Бабенко. О доказательных вычислениях и математическом эксперименте на ЭВМ // УМН. — 1985. — Т. 40, № 4(244) (10 листопада). — С. 137—138.
• Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН. . — 1988. — Т. 303, № 5 (10 листопада). — С. 1033—1037.

Посилання

• Інтервальний аналіз та його застосування [Архівовано 31 жовтня 2020 у Wayback Machine.]