Еліптична геометрія

Еліптична геометрія (інша назва — геометрія Рімана) — одна з неевклідових геометрій постійної кривини (інші — це гіперболічна і сферична геометрії). Якщо геометрія Евкліда реалізується у просторі з нульовою гауссовою кривиною, гіперболічна — з від'ємною, то еліптична геометрія реалізується у просторі з постійною додатною кривиною (у двовимірному випадку — на проєктивній площині і локально на сфері).

Порівняння еліптичної, евклідової та гіперболічної геометрій

У еліптичній геометрії пряма визначається двома точками, площина — трьома, дві площини перетинаються по прямій тощо, але в еліптичній геометрії немає паралельних прямих.

У еліптичній геометрії, як і в сферичній геометрії, справедливе твердження: сума кутів трикутника більша від двох прямих, має місце формула ${\displaystyle \Sigma =\pi +{S}/{R^{2}},}$ де ${\displaystyle \Sigma }$ — сума кутів трикутника, ${\displaystyle R}$ — радіус сфери, на якій реалізована геометрія.

Двовимірна еліптична геометрія схожа на сферичну геометрію, але відрізняється тим, що будь-які дві «прямі» мають не дві, як у сферичній, а тільки одну точку перетину. При ототожненні протилежних точок сфери виходить проєктивна площина, геометрія якої задовольняє аксіоми еліптичної геометрії.

Розглянемо сферу ${\displaystyle S}$ з центром в точці ${\displaystyle O}$ у тривимірному просторі ${\displaystyle E}$. Кожна точка ${\displaystyle A\in S}$ разом з центром сфери ${\displaystyle O}$ визначає деяку пряму ${\displaystyle l\subset E}$, тобто деяку точку ${\displaystyle A_{*}}$ проєктивної площини ${\displaystyle \Pi }$. Зіставлення ${\displaystyle A\to A_{*}}$ визначає відображення ${\displaystyle S\to \Pi }$, великі кола на ${\displaystyle S}$ (прямі в сферичній геометрії) переходять у прямі на проєктивній площині ${\displaystyle \Pi }$, при цьому в одну точку ${\displaystyle A_{*}\in \Pi }$ переходять рівно дві точки сфери: разом з точкою ${\displaystyle A\in S}$ і діаметрально протилежна їй точка ${\displaystyle A'\in S}$ (див. рисунок). Евклідові рухи простору ${\displaystyle E}$, що переводять сферу ${\displaystyle S}$ у себе, задають деякі визначені перетворення проєктивної площини ${\displaystyle \Pi }$, які є рухами еліптичної геометрії.

У еліптичній геометрії будь-які прямі перетинаються, оскільки це правильно для проєктивної площини, і отже, в ній немає паралельних прямих.

Одне з відмінностей еліптичної геометрії від евклідової до гіперболічної геометрії полягає в тому, що в ній немає природного поняття «точка C лежить між точками A і B» (в сферичній геометрії це поняття також відсутнє). Дійсно, на пряму проєктивної площини ${\displaystyle \Pi }$ відображається велике коло на сфері ${\displaystyle S}$, причому дві діаметрально протилежні точки сфери ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle A'}$ переходять в одну точку ${\displaystyle A_{*}\in \Pi }$. Аналогічно, точки ${\displaystyle B,B'}$ переходять в одну точку ${\displaystyle B_{*}\in \Pi }$ і точки ${\displaystyle C,C'}$ переходять в одну точку ${\displaystyle C_{*}\in \Pi }$. Таким чином, з рівною підставою можна вважати, що точка ${\displaystyle C_{*}}$ лежить між ${\displaystyle A_{*}}$ і ${\displaystyle B_{*}}$ і що вона не лежить між ними.

Література

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
• Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — будь-яке видання.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.