Вавилонська математика

Вавилонські математики (також відомі як ассиро-вавилонські математики^{[1][2][3][4][5][6]}) — математики, які жили у Месопотамії від днів стародавніх шумерів до падіння Вавилона в 539 році до нашої ери. Вавилонські математичні тексти численні і добре відредаговані.^[7] Що стосується часу вони потрапляють в дві групи: одні з Старовавилонського періоду^[en] (1830—1531 до н. е.), а інші в основному держави Селевкідів з останніх трьох-чотирьох століть до нашої ери. Відносно змісту майже не існує різниці між цими двома групами текстів. Таким чином, вавилонська математика лишилася незмінною, за своїм характером і змістом, протягом майже двох тисячоліть.^[7]

Дана стаття — частина огляду Історія математики.

{{{1}}}

Загальні відомості

Вавилонське царство виникло на початку II тисячоліття до н. е. на території сучасного Іраку, прийшовши на зміну Шумеру та Аккаду і успадкувавши їх розвинену культуру. Проіснувало до перського завоювання в 539 році до н. е.

Вавилоняни писали клинописними значками на глиняних табличках, які в чималій кількості дійшли до наших днів (більше 500 000, з них близько 400 пов'язані з математикою). Тому ми маємо досить повне уявлення про математичні досягненнях вчених Вавилонської держави. Відзначимо, що коріння культури вавилонян було значною мірою успадковане від Шумерів — клинописний лист, рахункова методика тощо.^[8]

Вавилонські математичні тексти носять переважно навчальний характер. З них видно, що вавилонська розрахункова техніка була набагато досконаліша єгипетської, а коло вирішуваних завдань істотно ширше. Є завдання на рішення рівнянь другого ступеня, геометричні прогресії. При вирішенні застосовувалися пропорції, середнє арифметичне, відсотки. Методи роботи з прогресіями були глибше, ніж у єгиптян. Лінійні і квадратні рівняння вирішувалися ще в епоху Хаммурапі (він правив у 1793—1750 роках до н. е.); при цьому використовувалася геометрична термінологія (добуток ab називався площею, abc — об'ємом, і т. д.). Багато значків для одночленів були шумерськими, з чого можна зробити висновок про давність цих алгоритмів; ці значки вживалися як буквені позначення невідомих в нашій алгебрі. Зустрічаються також кубічні рівняння і системи лінійних рівнянь. Вінцем планіметрії була теорема Піфагора; Ван дер Варден вважає, що вавилоняни відкрили її між 2000 і 1786 роками до н. е.^[9].

Як і в єгипетських текстах, викладається тільки алгоритм рішення (на конкретних прикладах), без коментарів і доказів. Однак аналіз алгоритмів показує, що загальна математична теорія у вавилонян безсумнівно була.

Нумерація

Вавилонські цифри

Докладніше: Вавилонські цифри

Шумери і вавилоняни використовували 60-кову позиційну систему числення, увічнену в нашому розподілі круга на 360°. Писали вони, як і ми, зліва направо. Однак запис необхідних 60 цифр був своєрідний. Значків для цифр було всього два, позначимо їх — О (одиниці) і Д (десятки); пізніше з'явився значок для нуля. Цифри від 1 до 9 зображувалися як О, ОО, … ООООООООО. Далі йшли Д, ДО, … ДДДДДООООООООО (59). Таким чином, число зображувалося в позиційній 60-ковій системі, а його 60-кові цифри — в адитивній десятковій. Аналогічно записувалися дроби. Для популярних дробів 1/2, 1/3 і 2/3 були спеціальні значки.

Грецькі і середньовічні європейські математики (у тому числі і Коперник), для позначення дрібних частин користувалися вавилонською 60-ковою системою. Завдяки цьому, ми ділимо годину на 60 хвилин і хвилини на 60 секунд. При цьому треба зазначити, що всупереч поширеній думці, години, хвилини і секунди не використовувалися у Стародавньому Вавилоні. Замість цього використовувалася подвійна година тривалістю 120 сучасних хвилин, а також час-градус тривалістю 1⁄360 дня (тобто чотири хвилини) і «третя частина» тривалістю 31⁄3 сучасних секунди (хелек в сучасному єврейському календарі)^[10].

У сучасній науковій літературі для зручності використовується компактний запис вавилонського числа, наприклад: 4,2,10; 46,52

Розшифровується цей запис наступним чином: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600

Арифметика

Для множення застосовувався громіздкий комплект таблиць, окремо для множення на 1 … 20, 30 … 50. Ділення ${\displaystyle m/n}$ вони замінювали множенням ${\displaystyle m\times \left({\frac {1}{n}}\right)}$, а для знаходження ${\displaystyle 1/n}$ у них були спеціальні таблиці. Інші таблиці допомагали підносити до степеня, добувати корінь і навіть знаходити показник ступеня ${\displaystyle n}$, якщо дано число виду ${\displaystyle 2^{n}}$(ці двійкові логарифми використовувалися для підрахунку відсотків по кредиту).^[11]

Для обчислення квадратного кореня вавилоняни відкрили ітераційний процес, що швидко сходиться, — нове наближення для ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ виходило з попереднього по формулі^[12]:

   ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}})\ }$

Геометрія

В геометрії розглядалися ті ж фігури, що і в Єгипті, плюс сегмент круга і зрізаний конус. У ранніх документах вважають ${\displaystyle \pi =3}$; пізніше зустрічається наближення 25/8 = 3,125 (у єгиптян 256/81 ≈ 3,1605). Зустрічається також і незвичайне правило: площа круга є 1/12 від квадрата довжини кола, тобто ${\displaystyle \pi ^{2}R^{2}/3}$. Вперше з'являється (ще при Хаммурапі) теорема Піфагора, причому в загальному вигляді; вона забезпечувалася особливими таблицями і широко застосовувалася при вирішенні різних завдань. Вавилоняни вміли обчислювати площі правильних багатокутників; мабуть, їм був знайомий принцип подібності. Для площі неправильних чотирикутників використовувалася та ж наближена формула, що і в Єгипті:

${\displaystyle S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}}$.

Від вавилонської математики беруть початок звичні нам одиниці вимірювання кутів: градуси, мінути й секунди. Введення цих одиниць у давньогрецьку математику зазвичай приписують Гіпсиклу, II століття до н. е.

Значні досягнення вавилонських математиків і астрономів стали фундаментом для науки наступних цивілізацій, і насамперед — науки стародавньої Греції. Все ж багата теоретична основа математики Вавилона не мала цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених методів, позбавлених доказової бази. Систематичний доказовий підхід в математиці з'явився тільки у греків.

Примітки

1. Lewy, H. (1949). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 18, 40–67; 137–170.
2. Lewy, H. (1951). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 20, 1–12.
3. Bruins, E.M. (1953). 'La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes. Revue d'Assyriologie 47, 185–188.
4. Cazalas, (1932). 'Le calcul de la table mathématique AO 6456'. Revue d'Assyriologie 29, 183–188.
5. Langdon, S. (1918). 'Assyriological notes: Mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet'. Revue d'Assyriologie 15, 110–112.
6. Robson, E. (2002). 'Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology'. In Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday (ed. C. Wunsch). ISLET, Dresden, 245–292.
7. Aaboe, Asger. «The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy.» The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Eds. John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger and C. B. F. Walker. Cambridge University Press, (1991)
8. Історія математики, 1970, с. 35.
9. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — ISBN 3-540-12159-5.
10. Стор. 325 у O Neugebauer (1949). The astronomy of Maimonides and its sources. Hebrew Union College Annual. 22: 321—360.
11. Історія математики, 1970, с. 37—39.
12. Історія математики, 1970, с. 47.

Література

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М. : Наука, 1959. — 456 с.
• Веселовсикий І. Н.^[ru]. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — М. : Академия наук СССР, 1955. — Вип. 5. — С. 241—304..
• Вигодський М. Я.^[ru]. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М. : Наука, 1967.
• Глейзер Г. І. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М. : Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики, в трёх томах / Под редакцией Юшкевич, Адольф Павлович. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Нейгебауэр О.^[en] Точные науки в древности. М., 1968.
• Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М. : Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М. : Изд. МГУ.
  • Том I. (1960). Том II. (1963)
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Просвещение, 1976. — 318 с.
• Friberg J. Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics. [Архівовано 9 жовтня 2013 у Wayback Machine.] World Scientific, 2005.
• Friberg J. Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics. [Архівовано 9 жовтня 2013 у Wayback Machine.] World Scientific, 2007.

Посилання

• Mesopotamian Mathematics [Архівовано 20 лютого 2018 у Wayback Machine.] (англ.)
• O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., An overview of Babylonian mathematics [Архівовано 5 жовтня 2008 у Wayback Machine.], MacTutor History of Mathematics, (December 2000).