Асимптотичний аналіз

У математичному аналізі асимптотичний аналіз — це метод опису граничної поведінки. Ця методологія має багато застосувань у природничих науках. Наприклад

• в інформатиці для аналізу алгоритмів, при розгляді виконання алгоритмів, що застосовуються для дуже великих наборів вхідних даних.
• поведінка дуже великих фізичних систем.
• в аналізі аварій, коли встанувлюється причина аварії за допомогою кількісного моделювання, з великим числом аварійних ситуацій в даний час і даному місці.

Ця стаття про порівняння функцій, аргументи яких прямують до нескінченності. Про асимптоти кривих див. асимптота.

Найпростіший приклад, розгляд функції f(n), при описі її властивостей, коли n стає занадто великим. Таким чином, якщо f(n)=n²+3n, елемент 3n стає незначним в порівнянні з n², при занадто великих n. Тоді кажуть, що функція f(n) є асимптотично еквівалентна n² при n → ∞ й символічно записують як f(n) ~ n².

Означення

Формально, для заданих двох комплекснозначних функцій f і g, що залежать від натурального аргументу n, пишемо

${\displaystyle f\sim g\quad ({\text{as }}n\to \infty )}$

щоб позначити цей факт в термінах о-маленького, то

${\displaystyle f(n)=g(n)+o(g(n))\quad (}$ при ${\displaystyle n\to \infty ),\,}$

що еквівалентно

${\displaystyle f(n)=(1+o(1))g(n)\quad (}$ при ${\displaystyle n\to \infty ).}$

Це означає, що для довільної додатньої константи ε знайдеться така константа N, що

${\displaystyle |f(n)-g(n)|\leq \epsilon |g(n)|}$ для всіх ${\displaystyle n\geq N~}$.

Якщо функція g(n) не рівна нулю (інакше границя записана нижче буде невизначеною), це твердження еквівалентне

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1.}$

Це відношення є відношення еквівалентності на множині функцій від n. Клас еквівалентності f загалом складається з усіх функцій g, котрі рівні f, в граничному сенсі.

Асимптотичний розклад

Асимптотичний розклад функції f(x) фактично це представлення цієї функції у вигляді рядів, часткові суми яких не обов'язково збігаються, але такі що будь-які часткові суми являють собою асимптотичні формули для f.

Література

• Асимптотичний аналіз нестійких розв'язків одновимірних стохастичних диференціальних рівнянь: навч. посіб. / Г. Л. Кулініч; Київ. нац. ун-т ім. Тараса Шевченка. — 2-ге вид., перероб. і допов. — Київ: Київський університет, 2015. — 125 с.
• Вступ до асимптотичних методів: Інтеграли та ряди: конспект лекцій / О. В. Барабаш. — К. : Київський ун-т, 2010. — 111 с.
• Якісний та асимптотичний аналіз диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями: [монографія] / А. М. Самойленко, О. М. Станжицький ; НАН України, Інститут математики, Проект «Наукова книга». — К. : Наукова думка, 2009. — 335 с. — Бібліогр.: с. 319—330. — ISBN 978-966-00-0910-0
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)