Ізоедричне тіло

Многогранник розмірності 3 та вище називається ізоедричним або гране-транзитивним, якщо всі його грані однакові. Точніше, всі грані мають бути не просто конгруентними, а мають бути транзитивними, тобто повинні прилягати в одній і тій самій орбіті симетрії. Іншими словами, для будь-яких граней A і B має існувати симетрія всього тіла (що складається з поворотів і відображень), яка відображає A в B. З цієї причини опуклі ізоедричні многогранники мають форми правильних гральних кісточок^[1].

Ізоедричні многогранники називають ізоедрами. Їх можна описати конфігурацією їхніх граней. Ізоедричне тіло, що має правильні вершини, є також реберно-транзитивним тілом (ізотоксальним) і кажуть, що воно є квазіправильним двоїстим — деякі теоретики^[хто?] вважають ці тіла істинно квазіправильними, оскільки вони зберігають ті самі симетрії.

Ізоедричний многогранник має двоїстий многогранник, який є вершинно-транзитивним (ізогональним). Тіла Каталана, біпіраміди і трапецоедри всі ізоедричні. Вони дуальні ізогональним архімедовим тілам, призмам і антипризмам відповідно. Правильні многогранники, які або самодвоїсті, або двоїсті іншим платоновим тілам (правильним многогранникам), вершинно-, реберно- і гране-транзитивні (ізогональні, ізотоксальні й ізоедричні). Ізоедричний і ізогональний одночасно многогранник називають благородним многогранником^[en].

Приклади

Шестикутна біпіраміда[en] V4.4.6 є прикладом неправильного ізоедричного многогранника.

Ізоедрична каїрська п'ятикутна мозаїка, V3.3.4.3.4

Ромбододекаедричний стільник[en] є прикладом ізоедричного (й ізохорного) стільника, що заповнює простір.

k-ізоедричне тіло

Многогранник є k-ізоедричним, якщо він містить k граней у своїй фундаментальній області симетрії^[2].

Аналогічно, k-ізоедрична мозаїка має k окремих орбіт симетрії (і може містити m граней різної форми для деякого m < k)^[3].

Моноедричний (має грані одного виду) многогранник або моноедрична мозаїка (m=1) мають конгруентні грані. r-едричний многогранник або мозаїка має r типів граней (їх також називають діедричними, триедричними і так далі для m=2, 3, …)^[4].

Кілька прикладів k-ізоедричних многогранників і мозаїк з розфарбуванням граней в k симетричних позиціях:

3-ізоедричний	4-ізоедричний	ізоедричний	2-ізоедричний
(2-едричні) многогранники з правильними гранями		Моноедричні многогранники
Ромбокубооктаедр має один тип трикутників і два типи квадратів	Подовжений квадратний гіробікупол має один тип трикутників і три типи квадратів.	Дельтоїдальний ікосітетраедр має один тип граней.	Псевдодельтаедричний ікосаедр(інші мови) має 3 типи граней.

2-ізоедрична	4-ізоедрична	ізоедрична	3-ізоедрична
(2-едричні) мозаїки з правильними гранями		Моноедричні мозаїки
Піфагорова мозаїка має квадрати 2 розмірів.	3-однорідна мозаїка має 3 типи однакових трикутників і квадрати одного виду.	Візерунок «Ялинка» має правильні грані одного типу.	П'ятикутна мозаїка має 3 типи ідентичних неправильних п'ятикутних граней.

Пов'язані поняття

Комірко-транзитивне або ізохорне тіло є n-вимірним многогранником (n>3) або стільником, які мають конгруентні і транзитивні, тобто такі, що переходять одна в іншу за допомогою симетрії,комірки.

Гране-транзитивне або ізотопне тіло (ізотоп) є n-вимірною фігурою або стільником з конгруентними і транзитивними фасетами ((n-1)-гранями). Двоїстий многогранник ізотопа є ізогональним многогранником. За визначенням, ця ізотопна властивість є спільною для двоїстих тіл однорідних многогранників.

• Ізотопна 2-вимірна фігура є ізотоксальною (реберно-транзитивною).
• Ізотопне 3-вимірне тіло є ізоедричним (гране-транзитивним).
• Ізотопне 4-вимірне тіло є ізохорним (комірко-транзитивним).

Див. також

• Реберна транзитивність
• Неізоедрична мозаїка^[en]

Примітки

1. McLean, 1990, с. 243–256.
2. Socolar, 2007, с. 33–38.
3. Kaplan, 2009, с. 35.
4. Grünbaum, Shephard, 1987, с. 20, 23.

Література

• Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — С. 367 Transitivity. — ISBN 0-521-55432-2.
• Joshua E. S. Socolar. Hexagonal Parquet Tilings: k-Isohedral Monotiles with Arbitrarily Large k // The Mathematical Intelligencer. — 2007. — Т. 29. — С. 33–38. — DOI:10.1007/bf02986203. Архівовано з джерела 3 березня 2016. Процитовано 2007-09-09.
• Craig S. Kaplan. Chapter 5 «Isohedral Tilings» //  — 2009. Архівовано з джерела 12 лютого 2022
• B. Grünbaum, G.C. Shephard. Tilings and Patterns. — New York : W. H. Freeman & Co, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
• K. Robin McLean. Dungeons, dragons, and dice // The Mathematical Gazette. — 1990. — Т. 74, вип. 469.

Посилання

• Olshevsky, George. «Isotope». Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
• Weisstein, Eric W. Isohedral tiling(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Isohedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.