Ізогональне спряження

Ізогональне спря́ження — геометричне перетворення, що отримується відображенням прямих, поєднуючих початкові точки з вершинами заданого трикутника відносно бісектрис кутів трикутника.

Точки $P$ і $P^{*}$ називаються ізогонально спряженими (застаріла назва — ізогональними^[1]) в трикутнику $\triangle ABC$ , якщо $\angle ABP=\angle CBP^{*}$ , $\angle BAP=\angle CAP^{*}$ , $\angle BCP=\angle ACP^{*}$ . Коректність цього означення можна довести через теорему Чеви в синусній формі, існує також чисто геометричне доведення коректності означення. Ізогональне спряження — перетворення, що ставить точці у відповідність ізогонально спряжену до неї. На всій площині окрім прямих, що містять сторони трикутника, ізогональне спряження є взаємно-однозначним відображенням.

Ізогональне спряження залишає на місці лише центри вписаного і зовнівписаних кіл.
Точка, ізогонально спряжена точці на описаному колі — нескінченно віддалена. Напрямок, який задає ця точка, перпендикулярний прямій Сімсона цієї точки.
Якщо точки $P_{a}$ , $P_{b}$ , $P_{c}$ симетричні точці $P$ відносно сторін трикутника, то центр описаного кола $P_{a}P_{b}P_{c}$ ізогонально спряжений до точки $P$ .
Якщо в трикутник вписаний еліпс, то його фокуси ізогонально спряжені.
Проєкції ізогонально спряжених точок на сторони лежать на одному колі (вірно і зворотне). Центр цього кола — середина відрізка між точками.
Образ прямої при ізогональному спряженні — коніка, описана навколо трикутника.
Якщо коніка $\alpha$ ізогонально спряжена до прямої $l$ , то трилінійні поляри^[en] всіх точок на $\alpha$ будуть проходити через точку, ізогонально спряжену трилінійному полюсу $l$ .