Унітарна група

Унітарна група — група унітарних матриць з рангом n, групова операція якої — множення матриць. Позначається U(n).

Модуль визначника унітарної матриці дорівнює 1. Важливим частковим випадком унітарної групи є спеціальна унітарна група — група унітарних матриць з визначником 1. Позначається SU(n).

Група U(n) та її підгрупа SU(n) використовуються в квантовій теорії поля.

Група U(1) є групою комплексних чисел із модулем одиниця, тобто чисел, які можна подати у вигляді:

${\displaystyle z=e^{i\varphi }}$,

де ${\displaystyle \varphi }$ - дійсне число.

Тензорний простір унітарних груп

Нехай простір тензорів ${\displaystyle n}$-рангу ${\displaystyle T^{i_{1}i_{2}...i_{n}}\,\,(i_{1},i_{2},...,i_{n}=0,1,...,r)}$ перетворюється по ${\displaystyle n}$-кратному прямому добутку представлень унітарної групи ${\displaystyle U_{r}.}$ Приведемо цей простір на симетричній групі ${\displaystyle S_{n},}$ яка представляє індекси ${\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{n},}$ і отримані таким чином ${\displaystyle S_{n}}$-незвідні тензори позначмо через

${\displaystyle T{\begin{pmatrix}\lambda \mu \\\gamma \end{pmatrix}},}$

де ${\displaystyle \lambda }$ - ${\displaystyle S_{n}}$-незвідне представлення (Схема Юнга), ${\displaystyle \mu }$ - його базис, а ${\displaystyle \gamma }$ - індекс кратності ${\displaystyle S_{n}}$-представлення ${\displaystyle \lambda .}$

Базис

${\displaystyle T{\begin{pmatrix}\lambda \mu \\\gamma \end{pmatrix}}}$

є незвідним і по відношенню до перетворень групи ${\displaystyle U_{r},}$ причому ${\displaystyle U_{r}}$ - незвідне представлення позначається тією ж самою схемою Юнга ${\displaystyle \lambda }$, а ${\displaystyle \mu }$ має сенс індексу кратності ${\displaystyle U_{r}}$-незвідного представлення ${\displaystyle \lambda }$.^[1]

Див. також

• Ортогональна група

1. В.В.Ванагас, Р.К.Калинаускас - Рекуррентное построение неприводимых тензорных пространств унитарнх групп и гинеалогическое разложение одноконфигурационной волновой функции, ТМФ, 1972, том 13, номер 1, 102-107.