гіпотеза в теорії чисел З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Abc-гіпотеза (також відома як гіпотеза Естерле–Массера ) — це гіпотеза розділу теорії чисел, яка виникла як результат дискусій Джозефа Естерле та Девіда Массера в 1985 році [1][2] Вона виражається в термінах трьох натуральних чиселa, b і c (звідси й назва), які є взаємно простими та задовольняють умову a + b = c . Гіпотеза по суті стверджує, що добуток різних простих множниківabc зазвичай не набагато менший за c . Низка гіпотез і теорем теорії чисел випливають безпосередньо з abc-гіпотези або її версій. Математик Доріан Голдфельд описав цю гіпотезу як «найважливішу невирішену проблему діофантового аналізу». [3]
Abc-гіпотеза виникла як результат спроб Остерле та Массера зрозуміти гіпотезу Шпіро про еліптичні криві[4], що включає у своє твердження більше геометричних структур, ніж abc-гіпотеза . Було доведено, що abc-гіпотеза еквівалентна модифікованій гіпотезі Шпіро. [1]
Було зроблено багато спроб довести abc-гіпотезу, але наразі жодна з них не прийнята повністю математичною спільнотою, і станом на 2020 рік вона все ще вважається недоведеною. [5]
Якщо a, b і c є взаємно простими[notes 1] натуральними числами, такими що a + b = c, виявляється, що "зазвичай" c < rad( abc ). Abc-гіпотеза має справу з винятками. Зокрема, в ній зазначено, що:
Для будь-якого додатного дійсного числаε, існує скінченна кількість трійок (a, b, c) взаємно простих цілих чисел, які задовільняють умову a + b = c, таких, що that[6]
Еквівалентне формулювання:
Для довільного додатного дійсного числа ε, існує константа Kε така що для всіх трійок взаємно простих цілих чисел (a, b, c) , таких що a + b = c:[6]
Еквівалентно (використовуючи позначення o-маленьке ):
Для всіх трійок (a, b, c) взаємно простих додатних цілих чисел таких, що a + b = c, rad(abc) є щонайменше c1-o(1).
Четверте еквівалентне формулювання гіпотези включає у себе поняття якостіq ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ), що визначається як
Типова трійка ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c матиме c < rad( abc ), тобто q ( a, b, c ) < 1. Трійки з q > 1, такі як наведені у другому прикладі, доволі особливі, вони складаються з чисел, які діляться на великі степені малих простих чисел . Третє формулювання:
Для довільного натурального числа ε, існує скінченна кількість трійок (a, b, c) взаємно простих натуральних чисел, що задовільняють умову a + b = c таких, що q(a, b, c) > 1 + ε.
Оскільки відомо, що існує нескінченна кількість трійок ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c таких, що q ( a, b, c ) > 1, то гіпотеза передбачає, що лише скінченна кількість із них мають q > 1,01 або q > 1,001 або навіть q > 1,0001 тощо. Зокрема, якщо гіпотеза вірна, то має існувати така трійка ( a, b, c ), яка досягає максимально можливої якості q ( a, b, c ).
Умова ε > 0 є необхідною, оскільки існує нескінченна кількість трійок a, b, c з c > rad( abc ). Наприклад, нехай
Ціле число b ділиться на 9:
Використовуючи цей факт, виконуються такі обчислення:
Замінивши експоненту 6 n іншими експонентами, змусивши b мати більші квадратичні множники, співвідношення між радикалом і c можна зробити як завгодно малим. Зокрема, нехай p > 2 є простим числом і розглянемо
Тепер можна стверджувати, що b ділиться на p2:
Останній крок використовує той факт, що p2 ділить 2 p ( p −1) − 1. Це напряму випливає з малої теореми Ферма, яка стверджує, що для p > 2, 2 p −1 = pk + 1 для деякого цілого числа k . Піднесення обох частин до степеня p показує, що 2 p ( p −1) = p2 (...) + 1.
А тепер подібними обчисленнями, як описано вище, отримуємо:
Нижче наведено список трійок найвищої якості (трійок з особливо малим радикалом відносно c ); найвищу якість, 1,6299, виявив Ерік Рейссат (Lando та Zvonkin, 2004) для
a = 2,
b = 310·109 = 6436341,
c = 235 = 6436343,
rad(abc) = 15042.
Abc-гіпотеза має велику кількість наслідків. До них належать як відомі результати (деякі з яких були доведені окремо уже після того, як гіпотеза була висловлена), так і гіпотези, для яких вона дає умовне доведення . Серед наслідків:
Слабка форма гіпотези Маршалла Холла про відокремлення квадратів і кубів цілих чисел. [12]
Велика теорема Ферма має відомий складний доказ Ендрю Вайлза. Однак це випливає легко, принаймні для , від ефективної форми слабкої версії гіпотези abc . Гіпотеза abc говорить, що lim sup набору всіх якостей (визначених вище) дорівнює 1, що передбачає набагато слабше твердження про те, що існує кінцева верхня межа для якостей. Припущення, що 2 є такою верхньою межею, достатньо для дуже короткого доказу останньої теореми Ферма для . [13]
L -функціяL ( s, χ d ), утворена за допомогою символу Лежандра, не має нуля Зігеля, враховуючи уніфіковану версію abc-гіпотези у числових полях, а не лише abc-гіпотезу, як сформульовано вище для раціональних цілих чисел. [15]
Узагальнення теореми Тідждемана щодо кількості розв’язків y m = x n + k (теорема Тідждемана відповідає випадку k = 1) і гіпотези Піллаї (1931) щодо кількості розв’язків Ay m = Bx n + k .
Як еквівалент, гіпотеза Гранвіля–Ланжевена, що якщо f є бінарною формою без квадратів степеня n > 2, то для довільного дійсного β > 2 існує константа C ( f, β ), така що для всіх взаємно простих цілих чисел x, y, радикал f ( x, y ) перевищує C · max{| х |, | y |} n − β . [17]
Як еквівалент, модифікована гіпотеза Шпіро, яка дасть межу rad( abc ) 1,2+ ε . [1]
Dąbrowski, (1996) показав, що гіпотеза abc означає, що діофантове рівняння n! + A = k2 має лише скінченну кількість розв’язків для будь-якого даного цілого числа A .
Існує ~ cfN додатних цілих чисел n ≤ N, для яких f ( n )/B' є вільним від квадратів, де cf > 0 додатна константа, визначена як: [18]
Гіпотеза Біла, узагальнення великої теореми Ферма, яка припускає, що якщо A, B, C, x, y та z є натуральними числами з A x + B y = C z та x, y, z > 2, то A, B, і C мають спільний простий множник. Гіпотеза abc означатиме, що існує лише кінцева кількість контрприкладів.
Гіпотеза Ленга, нижня межа для висоти раціональної точки без кручення еліптичної кривої.
Від'ємний розв’язок проблеми Ердеша–Улама на щільних множинах евклідових точок із раціональними відстанями. [19]
Ефективний варіант теореми Зігеля про цілі точки на алгебраїчних кривих. [20]
Abc-гіпотеза передбачає, що c може бути обмежено зверху майже лінійною функцією радикала abc . Відомо, що межі є експоненціальними . Зокрема, було доведено такі межі:
У даних межах K1 і K3 є константами, які не залежать від a, b чи c, а K2 є константою, яка залежить від ε ( ефективно обчислюваним способом), але не залежить від a, b або c . Межі застосовуються до будь-яких трійок, для яких c > 2.
У 2006 році математичний факультет Лейденського університету в Нідерландах спільно з нідерландським науковим інститутом Kennislink запустив проект ABC@Home, грід- обчислювальну систему, метою якої є виявлення додаткових трійок a, b, c з rad( abc ) < c . Хоча жоден скінченний набір прикладів чи контрприкладів не може довести чи спростувати abc-гіпотезу, є сподівання, що закономірності в трійках, які будуть виявлені цим проектом, приведуть до глибшого розуміння цієї гіпотези.
Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5
1.5679
1
2·37
54·7
Benne de Weger
Закрити
Примітка: якістьq ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ) визначена вище .
Гіпотеза abc є цілочисельним аналогом теореми Мейсона–Стозерса для поліномів.
Сильніша гіпотеза, запропонована Baker, (1998), стверджує, що в гіпотезі abc можна замінити rad( abc ) на
ε−ω rad(abc),
де ω — загальна кількість різних простих чисел, що ділять a, b і c . [24]
Ендрю Гранвіль помітив, що мінімум функції для виникає при
Це надихнуло Baker, (2004) запропонувати чіткішу форму abc-гіпотези, а саме:
!}}}
де κ є абсолютною константою. Після кількох обчислювальних експериментів він виявив, що значення було допустимим для κ . Ця версія називається «явною гіпотезою abc».
Бейкер, (1998) також описав гіпотези Ендрю Гранвілья що б дало верхню межу на c виду:
де Ω( n ) — загальна кількість простих множників n, і
де Θ( n ) — кількість цілих чисел до n, які діляться лише на прості числа, що ділять n .
Люсьєн Шпіро запропонував рішення в 2007 році, але невдовзі у ньому знайшли помилку. [25]
З серпня 2012 року Шінічі Мочізукі заявив про доведення гіпотези Шпіро, а отже, abc-гіпотези . [26] Він випустив серію з чотирьох препринтів, які включали нову теорію, яку він назвав міжуніверсальною теорією Тейхмюллера (IUTT), яка в подальшому застосовується для підтвердження abc-гіпотези . [27] Статті не були прийняті математичною спільнотою як докази гіпотези. [28] Це відбулося не лише через їхню довжину та складність розуміння [29], а й тому, що принаймні один конкретний момент у аргументації був визначений як прогалина деякими іншими експертами. [30] Незважаючи на те, що кілька математиків ручалися за правильність доведення [31] і намагалися показати своє розуміння через семінари на IUTT, їм не вдалося переконати спільноту математиків теорії чисел. [32][33]
У березні 2018 року Пітер Шольце та Якоб Стікс відвідали Кіото для обговорення з Мочізукі. [34][35] Хоча вони не усунули розбіжності, вони чіткіше їх сформулювали. Шольце та Стікс написали звіт, в якому пояснювали помилку в логіці доведення та стверджували, що отримана прогалина була «настільки серйозною, що ... невеликі зміни не врятують стратегію доказу»; [30] Мочізукі стверджував, що вони неправильно зрозуміли життєво важливі аспекти теорії та зробили некоректні спрощення. [36][37][38]
3 квітня 2020 року двоє математиків з Кіотського науково-дослідного інституту, де працює Мочізукі, оголосили, що заявлене ним доведення буде опубліковано в публікаціях науково-дослідного інституту математичних наук, журналі інституту. Мочізукі є головним редактором цього журналу, але він відмовився від рецензування даної статті. [5] Кіран Кедлая та Едвард Френкель сприйняли цю заяву зі скептицизмом, а журнал Nature описав її як «навряд чи приведе багатьох дослідників до табору Мочізукі». [5] У березні 2021 року доведення Мочізукі було опубліковано в RIMS. [39]
When a + b = c, coprimality of a, b, c implies pairwise coprimality of a, b, c. So in this case, it does not matter which concept we use.
Baker, Alan (1998). Logarithmic forms and the abc-conjecture. У Győry, Kálmán (ред.). Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter. с.37—44. ISBN3-11-015364-5. Zbl0973.11047.
Browkin, Jerzy (2000). The abc-conjecture. У Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (ред.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. с.75–106. ISBN3-7643-6259-6.
Dąbrowski, Andrzej (1996). On the diophantine equation x! + A = y2. Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14: 321—324. Zbl0876.11015.
Frey, Gerhard (1997). On Ternary Equations of Fermat Type and Relations with Elliptic Curves. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. New York: Springer. с.527—548. ISBN0-387-94609-8.
Langevin, M. (1993). Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc. Comptes rendus de l'Académie des sciences(фр.). 317 (5): 441—444.
Masser, D. W. (1985). Open problems. У Chen, W. W. L. (ред.). Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory. London: Imperial College.
Waldschmidt, Michel (2015). Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences. Mathematics in the 21st Century. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Т.98. с.211—230. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN978-3-0348-0858-3.
Pasten, Hector (2017), Definability of Frobenius orbits and a result on rational distance sets, Monatshefte für Mathematik, 182 (1): 99—126, doi:10.1007/s00605-016-0973-2, MR3592123
"Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Woit, Peter (26 травня 2007), Proof of the abc Conjecture?, Not Even Wrong.
Mochizuki, Shinichi (4 березня 2021). Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 57 (1): 627—723. doi:10.4171/PRIMS/57-1-4.
March 2018 Discussions on IUTeich. Процитовано 2 жовтня 2018. Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material