Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції (аркфункції) — математичні функції, що є оберненими до тригонометричних функцій.

Обернені тригонометричні функції
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Обернений елемент	тригонометричні функції
Обернені тригонометричні функції у Вікісховищі

До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій:

• аркси́нус (arcsin)
• аркко́синус (arccos)
• аркта́нгенс (arctg; в іноземній літературі arctan)
• арккота́нгенс (arcctg; в іноземній літературі arccot чи arccotan)
• арксе́канс (arcsec)
• арккосе́канс (arccosec; в іноземній літературі arccsc)

Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від лат. arc — дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.

Основні властивості

Головні значення

Оскільки жодна із тригонометричних функції не є однозначною, вони мають обмеження для того, щоб мати обернені функції. Тому області значень обернених функцій є відповідними підмножинами області визначення початкових функцій.

Функцію y = arcsin(x) можна визначити як таку, що sin(y) = x. Для даного дійсного числа x, в діапазоні −1 ≤ x ≤ 1, існує декілька (на справді, нескінченно багато) чисел y, таких що sin(y) = x; наприклад, sin(0) = 0, але і sin(π) = 0, sin(2π) = 0, і так далі. Якщо необхідно отримати лише одне значення, функцію можна обмежити до її головної області. Із таким обмеженням, для кожного x вираз arcsin(x) буде обчислювати лише одне значення, яке називається головним значенням^[en]. Ці властивості застосовується до всіх обернених тригонометричних функцій.

Головні області значень зворотніх функцій наведені у таблиці.

Назва	Позначення	Визначення	Можливі дійсні значення аргументу функції	Область значень (радіани)	Область значень (градуси)
арксинус	y = arcsin x	x = sin y	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
арккосинус	y = arccos x	x = cos y	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
арктангенс	y = arctg x	x = tg y	всі дійсні числа	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
арккотангенс	y = arcctg x	x = ctg y	всі дійсні числа	0 < y < π	0° < y < 180°
арксеканс	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
арккосеканс	y = arccosec x	x = cosec y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2	-90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Основні відношення

Головні значення функцій arcsin(x) та arccos(x).

Головні значення функцій arcsec(x) та arccsc(x).

Доповнювальний кут:

${\displaystyle \arccos {x}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {x}}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}-\arctan {x}}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} {x}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} {x}}$

Від'ємний аргумент:

${\displaystyle \arcsin {(-x)}=-\arcsin {x}\!}$

${\displaystyle \arccos {(-x)}=\pi -\arccos {x}\!}$

${\displaystyle \arctan {(-x)}=-\arctan {x}\!}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} {(-x)}=\pi -\operatorname {arccot} {x}\!}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} {(-x)}=\pi -\operatorname {arcsec} {x}\!}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} {(-x)}=-\operatorname {arccsc} {x}\!}$

Обернений аргумент:

${\displaystyle \arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,}$

${\displaystyle \arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,}$

${\displaystyle \arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,}$

${\displaystyle \arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,}$

Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:

${\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

Із формули половинного кута ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}$, отримаємо:

${\displaystyle \arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

${\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1}$

${\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$

Відношення між оберненими тригонометричними та тригонометричними функціями

Тригонометричні функції, аргументом яких є зворотні тригонометричні функції, приведені в таблиці нижче. Їх можна швидко вивести із геометрії правильного трикутника, одна із сторін якого має довжину 1, а інша сторона має довжину x (будь-яке дійсне число що приймає значення від 0 до 1), і застосувавши Теорему Піфагора і визначення тригонометричних співвідношень.

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$	Діаграми
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}$	${\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}$	${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}}$

Диференціювання тригонометричних функцій

Похідна для дійсних та комплексних значень x:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}$

Тільки для дійсних значень x:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}$

Приклад знаходження похідної: нехай ${\displaystyle \theta =\arcsin x\!}$, отримаємо:

${\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Застосування

Знаходження кутів прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник: a - протилежний катет, b - прилеглий катет і h- гіпотенуза.

Обернені тригонометричні функції є корисними, коли необхідно визначити два не прямі кути прямокутного трикутника при відомих довжинах сторін трикутника. Якщо для прямокутного трикутника згадати визначення синуса, наприклад, буде отримане наступне

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{a}}{\text{h}}}\right)\,.}$

Часто, гіпотенуза є не відомою і перед застосуванням функцій арксинуса або арккосинуса її необхідно розрахувати використовуючи теорему Піфагора: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ де ${\displaystyle h}$ це довжина гіпотенузи. Арктангенс стає корисним в такій ситуації, оскільки довжина гіпотенузи не є необхідною.

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{a}}{\text{b}}}\right)\,.}$

Наприклад, допустимо дах має висоту в 8 метрів і просувається в довжину на 20 метрів. Дах утворює кут θ із горизонталлю, де θ можна розрахувати наступним чином:

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{a}}{\text{b}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{висота}}{\text{довжина}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

У комп'ютерній науці і інженерії

Варіант арктангенсу з двома аргументами

Функція з двома аргументами atan2^[en] розраховує арктангенс y / x для заданих y і x, але в діапазоні (−π, π]. Іншими словами, atan2(y, x) повертає кут між додатною частиною осі x на площині і точкою (x, y) на ній, і повертає додані значення для кутів проти годинникової стрілки (верхній півплощині, y > 0), і від'ємні значення для кутів за годинниковою стрілкою (нижньої півплощини, y < 0). Вперше така функція з'явилася в комп'ютерних мовах програмування, але зараз вона є відомою і в інших областях науки і інженерії.

Через стандартну функцію arctan, у діапазоні (−π/2, π/2), її можна задати наступним чином:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&\quad x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &\quad y\geq 0\;,\;x<0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &\quad y<0\;,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0\;,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0\;,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0\;,\;x=0\end{cases}}}$

Це також дорівнює головному значенню^[en] аргумента^[en] комплексного числа x + iy.

Цю функцію також можна визначити із використанням формули тангенса половинного кута наступним чином:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)}$

за умови, що x > 0 або y ≠ 0. Однак, значення буде не коректним якщо x ≤ 0 і y = 0 тому такий вираз не є корисним для розрахунків.

Вищезгаданий порядок аргументів (y, x) є найбільш загальним, і зокрема використовується в ISO стандартах що застосовуються, наприклад в мові програмування C, але деякі автори можуть використовувати порядок навпаки (x, y), тому потрібно приділяти увагу.

Числова точність

Для кутів близькими за значенням до 0 і π, arccosine є погано обумовленим і тому обчислення кута буде відбуватися із зменшеною точністю при реалізації на комп'ютері (через обмежену кількість розрядів).^[1] Аналогічно, arcsine є неточним для кутів близьких до −π/2 and π/2.

Див. також

• Тригонометрія
• Тригонометричні функції
• Список тригонометричних тотожностей
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій
• Інтегральні тригонометричні функції
• Обернені гіперболічні функції

Джерела

• Weisstein, Eric W. Inverse Trigonometric Functions(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Аркфункція: від А до Я / О. С. Істер. — Вид. 2-ге. — Тернопіль : Навч. кн.—Богдан, 2012. — 175 с. : іл., табл. ; 20 см. — (Бібліотечка фізико-математичної школи, ISBN 978-966-10-0742-9). — ISBN 978-966-10-2985-8
• Обернені тригонометричні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 182. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Примітки

1. Gade, Kenneth (2010). A non-singular horizontal position representation (PDF). The Journal of Navigation. Cambridge University Press. 63 (3): 395—417. doi:10.1017/S0373463309990415.