Loading AI tools
теоретична модель зонної теорії кристалів, в якій потенціал періодичний та слабкий З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Наближення порожньої ґратки — це модель зонної теорії кристалів, в якій потенціал кристалічної ґратки періодичний та ґранично слабкий. Енергія електронів у «порожній ґратці» точно така сама, як і вільних електронів. Головним здобутком такого підходу є схема класифікації електронних зон[1]:245, а практично застосовними є лише його розширення, зокрема, у вигляді ґраничних випадків майже вільних електронів та сильного зв'язку.
Розсіювання електронів на вузлах ґратки визначається просторовим розташуванням вузлів. Кожен вузол є потенціальною ямою, на якій з певною ймовірністю відбудеться акт розсіювання. Для частинки в одновимірній ґратці, зокрема, модель Кроніга-Пенні дає можливість аналітично обчислити зонну структуру за відомими значеннями потенціалу, відстані між сусідніми атомами та розміру потенціальної ями. Для дво- і тривимірних випадків подібні моделі з невеликою кількістю параметрів дають нереалістичні розв'язки.[2]:310 Тим не менше, в більшості областей зонну структуру вдається наближено описати за допомогою теорії збурень, починаючи з розв'язків для порожньої ґратки, тобто плоских хвиль.[1]:245
В наближенні порожньої ґратки електрони мають лише кінетичну енергію й закон дисперсії виглядає так:
Тут — зведена стала Планка, m — маса електрона, — вектор оберненого простору, який називають квазіімпульсом.
Якою малою не була би глибина потенціальної ями, у нескінченній періодичній ґратці рано чи пізно акт взаємодії відбудеться й хвилю буде відбито. Такий процес розсіювання зумовлює відомий закон Брегга, а також періодичність закону дисперсії електронів і поділ -простору на зони Бріллюена. Періодичність закону дисперсії математично виражається так.[1]:245 Якщо два -вектори різняться на будь-який вектор оберненої гратки, , то їм відповідає одне й те саме значення енергії, .
Завдяки цій періодичності для маркування всіх точок достатньо обмежитися такими значеннями , які лежать всередині першої зони Бріллюена; в поданому прикладі одновимірної лінійної ґратки зі сталою ґратки це значення . В такий спосіб у схемі зведених зон з'являються різні гілки закону дисперсії, їх доводиться додатково нумерувати: .
Густина станів (англ. DOS) — це кількість електронних станів в інтервалі енергій , пронумерованому векторами оберненого простору. В одновимірному випадку густина станів, створювана зоною при даній енергії , тим більша, чим менше значення похідної .
Хоча елементарні комірки не є сферично симетричними, в наближеннях порожньої ґратки та майже вільних електронів квадратичний вигляд закону дисперсії зберігається. Порівняно з одновимірним, у дво- й тривимірному випадках кількість станів, що потрапляють в інтервал , збільшується внаслідок можливого виродження по напрямку вектора . Для тривимірної ґратки густина станів пропорційна кореню квадратному з енергії, який при квадратичному законі дисперсії у свою чергу пропорційний квазіімпульсу:
Вільні електрони, що рухаються порожньою ґраткою із хвильовим вектором поза першою зоною Бріллюена, будуть відбиті до першої зони Бріллюена. Хоча дуже схожий на вектор імпульсу, зберігається лише квазіімпульс, тобто зберігається з точністю до , будь-якого вектору зворотної ґратки. В зовнішніх посиланнях можна знайти онлайн-ресурси із прикладами та зображеннями вищих зон Бріллюена.
В багатьох звичайних металах, на кшталт алюмінію, ефект екранування значно послаблює електростатичне поле, створюване іонами ґратки при металічному зв'язку. Електростатичний потенціал в кристалі виражається як
де Z — атомний номер металу, e — елементарний заряд, r — відстань між електроном і ядром іону, q — параметр екранування, що обмежує дальнодію потенціалу. Перетворення Фур'є, , потенціалу ґратки дається формулою
Значення недіагональних елементів потенціалу (між різними векторами зворотної ґратки) майже дорівнюють нулю. В результаті величина забороненої зони спадає й результат стає подібним до передбаченого в наближенні порожньої ґратки.
За винятком кількох екзотичних структур, переважна більшість металів кристалізується в одному з трьох структурних типів: об'ємноцентрована чи гранецентрована кубічна структура, або щільноупакована гексагональна структура.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.