Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду
Многочлен | |
Формула | |
---|---|
Позначення у формулі | , і |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Многочлен у Вікісховищі |
де є сталими коефіцієнтами (константами), а — змінна.
Наприклад, , та , є многочленами, але та не є многочленами.
Многочленом від декількох змінних (багатовимірним многочленом) називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих степенів змінних та константи:
Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.
В многочлені доданки називаються його членами. Якщо , то називається старшим членом, а його степінь степенем многочлена. Степінь многочлена позначається . Член нульового степеня називається вільним членом.
Ще є нульовий многочлен (інколи пишуть , щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, .
Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.
Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.
Наприклад, — кубічний тричлен з членами , і , причому — це старший член, а — вільний член.
де і — многочлени, причому .
Многочлен можна розглядати як функцію від змінної . Число називається коренем многочлена , якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо . Це рівносильно умові «Многочлен ділиться на двочлен без остачі» (див. теорему Безу). Якщо ділиться на без остачі, то корінь називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число , для якого ділиться на без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).
Якщо неконстантний многочлен можна представити у вигляді , де і — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що розкладено на нетривіальні множники , . Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки
то
Якщо якийсь з множників , можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення у вигляді
де многочлени є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.
Комплексний многочлен степеня має рівно комплексних коренів, з урахуванням кратності.
Інакше кажучи, його можна розкласти на лінійних множників:
Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.
Нехай — задана на система линійно незалежних функцій. Узагальненим многочленом будемо називати функцію
де — довільні дійсні числа (коэфіціенти узагальненого многочлена).
В іншому мовному розділі є повніша стаття Polynomial(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
|
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.