Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду
де a0 є ціле число, а всі інші an є натуральними числами. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді, коли воно раціональне.
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом , де
де позначає цілу частину числа .
Для раціонального числа цей розклад завершиться після одержання нульового для деякого n. У цьому випадку представляється скінченним ланцюговим дробом .
Для ірраціонального всі величини будуть ненульовими, і процес розкладу можна продовжувати нескінченно.
Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.
Більше інформації , ...
Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
STOP |
|
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4] |
|
Закрити
якщо, проте, використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
Якщо n ціле число більше одиниці,
Якщо також n парне:
при n = 1:
якщо n додатне число; також
якщо n > 1,
- Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
- Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
- Наприклад:
- золотий поділ
- Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
- Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2,6854520010…)
n-м наближеним дробом для ланцюгового дробу , називається скінченний ланцюговий дріб , значення якого можна подати .
Звідси випливає наступне твердження:
- наближений дріб є найкращим наближенням для серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує ;
- при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.
- Доведення ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів доведена ірраціональність дзета-функції Рімана числа пі.
- Алгоритми факторизації SQUFOF и CFRAC.
- Характеристика ортогональних многочленів
- Характеристика стабільних многочленів
- Алгоритм Ланцоша використовує ланцюгові дроби для обчислення власних значень великих розріджених матриць.
- Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN 966-594-019-8. (укр.)
- В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»)
- А. А. Бухштаб. Теория чисел. — Просвещение, 1966. — 384 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
- С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — 2009. — 138 с.
- И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Просвещение, 1965. — С. 253—254.
- Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М. : Наука, 1965.
- С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург : Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
- А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.
- Claude Brezinski. History of continued fractions and Padé approximants [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine.]. Berlin: Springer-Verlag; 1991. — VIII + 551 pages. / Chapter 4 [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine.]. Golden Age. Pages 97-140.
- G. Blanch. Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383—421
- J. Widž. From the History of Continued Fractions [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine.] // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176—181, 2009