![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Standing_waves_on_a_string.gif/640px-Standing_waves_on_a_string.gif&w=640&q=50)
Гільбертів простір
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє:
- вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута;
- визначити метрику, відносно якої гільбертів простір є повним метричним простором.
Гільбертів простір | |
Названо на честь | Давид Гільберт |
---|---|
Зображує | Гільбертів простір з відтворювальним ядромd і гільбертів простір |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
![]() |
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Standing_waves_on_a_string.gif/320px-Standing_waves_on_a_string.gif)
Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці — як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття Давидом Гільбертом, Ерхардом Шмідтом і Фріджесом Рісом. Гільбертові простори є незамінними інструментами в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних, квантовій механіці, аналізі Фур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). Джон фон Нейман ввів термін «Гільбертовий простір» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру функціонального аналізу. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з узагальнених функцій, і простори Харді голоморфних функцій.
Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги теореми Піфагора і правила паралелограма. На глибшому рівні — перпендикулярна проекція на лінійний підпростір або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з декартовими координатами в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.