Геометричне перетворення

У математиці геометричне перетворення - це будь-яка бієкція множини до себе (або до іншої такої множини) з деякою помітною геометричною основою.^[1] Більш конкретно, це функція, домен і діапазон якої є наборами точок - найчастіше обома ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ або обидва ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ - така, що функція є ін'єктивною, щоб існувала її обернена.^[2] До вивчення геометрії можна підходити шляхом вивчення цих перетворень.^[3]

Геометричні перетворення можна класифікувати за розмірністю їх наборів операндів (таким чином розрізняючи, скажімо, площинні перетворення та просторові перетворення). Їх також можна класифікувати за властивостями, які вони зберігають:

• Переміщення зберігають відстань та кути (наприклад, паралельне перенесення);^[4]
• Ізометрії зберігають кути та відстані (наприклад, перетворення Евкліда);^[5]
• Подібність зберігають кути та співвідношення між відстанями (наприклад, зміна розміру);^[6]
• Афінні перетворення зберігають паралельність (наприклад, масштабування, зсув );^[7]
• Проективні перетворення (трансформації) зберігають колінеарність ;^[8]

Кожен із цих класів містить попередній.^[8]

• Перетворення Мебіуса із використанням складних координат на площині (як і інверсія кола) зберігають безліч усіх прямих і кіл, але можуть міняти місцями лінії та кола.

• 
  Оригінальне зображення (на основі карти Франції)
• 
  Ізометрія
• 
  Подібність
• 
  Афінне перетворення
• 
  Проективна трансформація
• 
  інверсія

• Дифеоморфізми (bidifferentiable перетворення) є перетворенням, як афінні в першому порядку; вони містять попередні як особливі випадки і можуть бути додатково уточнені.^[9]
• Конформні перетворення зберігають кути і є, у першому порядку, подібністю.
• Еквіаріальні перетворення, збереження площ у площинному випадку або об’ємів у тривимірному випадку. і є, у першому порядку, афінними перетвореннями детермінанти 1.
• Гомеоморфізми (двосторонні перетворення) зберігають околиці точок.

• 
  Конформне перетворення
• 
  Еквіаріальна трансформація
• 
  Дифеоморфізм
• 
  Гомеоморфізм

Перетворення одного типу утворюють групи, які можуть бути підгрупами інших груп перетворень.

Протилежні групові дії

Багато геометричних перетворень виражаються за допомогою лінійної алгебри. Бієктивні лінійні перетворення (бієкція) - це елементи загальної лінійної групи. Лінійне перетворення A не є особливим. Для вектора рядків v матричний добуток vA дає інший вектор рядка w = vA.

Транспонування вектора рядка v є вектором стовпця v ^T, а транзакція вищевказаної рівності - ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$ Тут A ^T забезпечує ліву дію на вектори стовпців.

У геометрії перетворень є композиції AB. Починаючи з вектора рядка v, правильною дією складеного перетворення є w = vAB. Після транспонування

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Таким чином, для AB пов'язана дія лівої групи є ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$ При вивченні протилежних груп розрізняють дії протилежних груп, оскільки єдиними групами, для яких ці протилежності рівні, є комутативні групи.

Примітки

• Ерлангенська програма
• Роздум
• Ортогональне перетворення
• Обертання
• Топологія
• Матриця перетворення