Геометричне перетворення

У математиці геометричне перетворення - це будь-яка бієкція множини до себе (або до іншої такої множини) з деякою помітною геометричною основою.^[1] Більш конкретно, це функція, домен і діапазон якої є наборами точок - найчастіше обома ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ або обидва ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ - така, що функція є ін'єктивною, щоб існувала її обернена.^[2] До вивчення геометрії можна підходити шляхом вивчення цих перетворень.^[3]

Геометричні перетворення можна класифікувати за розмірністю їх наборів операндів (таким чином розрізняючи, скажімо, площинні перетворення та просторові перетворення). Їх також можна класифікувати за властивостями, які вони зберігають:

• Переміщення зберігають відстань та кути (наприклад, паралельне перенесення);^[4]
• Ізометрії зберігають кути та відстані (наприклад, перетворення Евкліда);^[5]
• Подібність зберігають кути та співвідношення між відстанями (наприклад, зміна розміру);^[6]
• Афінні перетворення зберігають паралельність (наприклад, масштабування, зсув );^[7]
• Проективні перетворення (трансформації) зберігають колінеарність ;^[8]

Кожен із цих класів містить попередній.^[8]

• Перетворення Мебіуса із використанням складних координат на площині (як і інверсія кола) зберігають безліч усіх прямих і кіл, але можуть міняти місцями лінії та кола.

• 
  Оригінальне зображення (на основі карти Франції)
• 
  Ізометрія
• 
  Подібність
• 
  Афінне перетворення
• 
  Проективна трансформація
• 
  інверсія

• Дифеоморфізми (bidifferentiable перетворення) є перетворенням, як афінні в першому порядку; вони містять попередні як особливі випадки і можуть бути додатково уточнені.^[9]
• Конформні перетворення зберігають кути і є, у першому порядку, подібністю.
• Еквіаріальні перетворення, збереження площ у площинному випадку або об’ємів у тривимірному випадку. і є, у першому порядку, афінними перетвореннями детермінанти 1.
• Гомеоморфізми (двосторонні перетворення) зберігають околиці точок.

• 
  Конформне перетворення
• 
  Еквіаріальна трансформація
• 
  Дифеоморфізм
• 
  Гомеоморфізм

Перетворення одного типу утворюють групи, які можуть бути підгрупами інших груп перетворень.

Протилежні групові дії

Багато геометричних перетворень виражаються за допомогою лінійної алгебри. Бієктивні лінійні перетворення (бієкція) - це елементи загальної лінійної групи. Лінійне перетворення A не є особливим. Для вектора рядків v матричний добуток vA дає інший вектор рядка w = vA.

Транспонування вектора рядка v є вектором стовпця v ^T, а транзакція вищевказаної рівності - ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$ Тут A ^T забезпечує ліву дію на вектори стовпців.

У геометрії перетворень є композиції AB. Починаючи з вектора рядка v, правильною дією складеного перетворення є w = vAB. Після транспонування

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Таким чином, для AB пов'язана дія лівої групи є ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$ При вивченні протилежних груп розрізняють дії протилежних груп, оскільки єдиними групами, для яких ці протилежності рівні, є комутативні групи.

Примітки

• Ерлангенська програма
• Роздум
• Ортогональне перетворення
• Обертання
• Топологія
• Матриця перетворення

Літератури

1. The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Transformation. Math Vault (амер.). 1 серпня 2019. Архів оригіналу за 28 лютого 2020. Процитовано 2 травня 2020.
2. Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto – Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84.
3. Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson Prentice Hall, с. 285, ISBN 9780131437005
4. Geometry Translation. www.mathsisfun.com. Архів оригіналу за 7 січня 2021. Процитовано 2 травня 2020.
5. Geometric Transformations — Euclidean Transformations. pages.mtu.edu. Архів оригіналу за 21 січня 2021. Процитовано 2 травня 2020.
6. Transformations. www.mathsisfun.com. Архів оригіналу за 18 січня 2021. Процитовано 2 травня 2020.
7. Geometric Transformations — Affine Transformations. pages.mtu.edu. Архів оригіналу за 21 січня 2021. Процитовано 2 травня 2020.
8. Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – Geometric transformation [Архівовано 22 вересня 2020 у Wayback Machine.], p. 182, at Google Books
9. stevecheng (13 березня 2013). first fundamental form (PDF). planetmath.org. Архів оригіналу (PDF) за 14 липня 2014. Процитовано 1 жовтня 2014.

Для ознайомлення

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Adler, Irving (2012) [1966], A New Look at Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Дієнес, З.П. ; Golding, EW (1967). Геометрія через трансформації (3 т. ): Геометрія спотворень, Геометрія конгруентності та Групи та координати. Нью-Йорк: Гердер і Гердер.
• Девід Ганс - Трансформації та геометрії.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (вид. 2nd). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• Джон Макклірі - Геометрія з диференційованої точки зору.
• Модєнов, П.С.; Пархоменко, А.С. (1965). Геометричні перетворення (2 т. ): Евклідові та афінні перетворення та проективні перетворення. Нью-Йорк: Академічна преса.
• А. Н. Преслі - Елементарна диференціальна геометрія.
• Яглом, І.М. (1962, 1968, 1973, 2009). Геометричні перетворення (4 т. ). Випадковий будинок (I, II та III), MAA (I, II, III та IV).