Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Багатокутне число (полігональне число) — це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа — один з типів фігурних чисел.
Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати арифметичну прогресію з різницею ( — натуральне число). Найпростіша послідовність — це послідовність натуральних чисел (). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці . Наведемо приклади:
Трикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел .
Квадратні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел .
П'ятикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел .
Шестикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел .
Інколи визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд .
Якщо — кількість сторін у многокутнику, формула -го -кутного числа наступна:
або
-те -кутного число також пов'язане з трикутними числами таким чином:
Звідси
Для заданого -кутного числа можна знайти та за допомогою формул:
Застосовуючи формулу наведену вище, маємо
Якщо сторін 6, то
але оскільки
то звідси випливає, що
Отже, кожне -те шестикутне число також є -м трикутним числом . Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши непарні трикутні числа : 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …
Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою дигамма функції.[1]
s | Назва | Формула | n | Сума обернених значень[1][2] | OEIS | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||||
3 | Трикутні | 1/2(n2 + n) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 2[1] | A000217 |
4 | Квадратні | 1/2(2n2 − 0n) = n2 |
1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | π2/6[1] | A000290 |
5 | П'ятикутні | 1/2(3n2 − n) | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | 3 ln3 − π√3/3[1] | A000326 |
6 | Шестикутні | 1/2(4n2 − 2n) = 2n2 — n |
1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | 2 ln 2[1] | A000384 |
7 | Семикутні | 1/2(5n2 − 3n) | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 | [1] | A000566 |
8 | Восьмикутні | 1/2(6n2 − 4n) = 3n2 — 2n |
1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | 225 | 280 | 3/4 ln 3 + π√3/12[1] | A000567 |
9 | Дев'ятикутні | 1/2(7n2 − 5n) | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | 261 | 325 | A001106 | |
10 | Десятикутні | 1/2(8n2 − 6n) = 4n2 — 3n |
1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | 297 | 370 | ln 2 + π/6 | A001107 |
11 | 11-кутні | 1/2(9n2 − 7n) | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | 333 | 415 | A051682 | |
12 | 12-кутні | 1/2(10n2 − 8n) | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | 369 | 460 | A051624 | |
13 | 13-кутні | 1/2(11n2 − 9n) | 1 | 13 | 36 | 70 | 115 | 171 | 238 | 316 | 405 | 505 | A051865 | |
14 | 14-кутні | 1/2(12n2 − 10n) | 1 | 14 | 39 | 76 | 125 | 186 | 259 | 344 | 441 | 550 | 2/5 ln 2 + 3/10 ln 3 + π√3/10 | A051866 |
15 | 15-кутні | 1/2(13n2 − 11n) | 1 | 15 | 42 | 82 | 135 | 201 | 280 | 372 | 477 | 595 | A051867 | |
16 | 16-кутні | 1/2(14n2 − 12n) | 1 | 16 | 45 | 88 | 145 | 216 | 301 | 400 | 513 | 640 | A051868 | |
17 | 17-кутні | 1/2(15n2 − 13n) | 1 | 17 | 48 | 94 | 155 | 231 | 322 | 428 | 549 | 685 | A051869 | |
18 | 18-кутні | 1/2(16n2 − 14n) | 1 | 18 | 51 | 100 | 165 | 246 | 343 | 456 | 585 | 730 | 4/7 ln 2 − √2/14 ln (3 − 2√2) + π(1 + √2)/14 | A051870 |
19 | 19кутні | 1/2(17n2 − 15n) | 1 | 19 | 54 | 106 | 175 | 261 | 364 | 484 | 621 | 775 | A051871 | |
20 | 20-кутні | 1/2(18n2 − 16n) | 1 | 20 | 57 | 112 | 185 | 276 | 385 | 512 | 657 | 820 | A051872 | |
21 | 21-кутні | 1/2(19n2 − 17n) | 1 | 21 | 60 | 118 | 195 | 291 | 406 | 540 | 693 | 865 | A051873 | |
22 | 22-кутні | 1/2(20n2 − 18n) | 1 | 22 | 63 | 124 | 205 | 306 | 427 | 568 | 729 | 910 | A051874 | |
23 | 23-кутні | 1/2(21n2 − 19n) | 1 | 23 | 66 | 130 | 215 | 321 | 448 | 596 | 765 | 955 | A051875 | |
24 | 24-кутні | 1/2(22n2 − 20n) | 1 | 24 | 69 | 136 | 225 | 336 | 469 | 624 | 801 | 1000 | A051876 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
10000 | 10000-кутні | 1/2(9998n2 − 9996n) | 1 | 10000 | 29997 | 59992 | 99985 | 149976 | 209965 | 279952 | 359937 | 449920 | A167149 |
Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній") і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).
Властивість цієї таблиці виражена наступною тотожністю (див. A086270 [Архівовано 13 квітня 2021 у Wayback Machine.]) :
де
Задача 1. (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число , потрібно визначити чи є воно багатокутним числом і якщо так, то для яких значень , . Діофант сформулював цю проблему так: «визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел». Алгоритм розв'язку задачі:[3].
Відповідно, всі пари , що залишилися, рівні .
Приклад 1. Нехай .
Відповідь: зустрічається як , , , , тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.
Задача 2. Дано натуральне число , потрібно визначити чи є воно -кутним числом . На відміну від попередньої задачі, тут задано. Для розв'язку можна використати тотожністю Діофанта[4]:
Цю тотожність легко отримати з наведеної вище загальної формули для . З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо є -кутне число, тобто для деякого , то — це деяке квадратне число і навпаки. При цьому номер знаходиться за формулою
Приклад 2. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення тут рівне , тому задане число є 10-кутним. , отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.
Степеневий ряд, коефіцієнти якого -кутні числа, збігається при :
Вираз справа є твірною функцією для послідовності -кутних чисел[5].
Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в теорії чисел і комбінаториці методи математичного аналізу. Наведена формула також пояснює появу -кутних чисел серед коефіцієнтів ряду Тейлора для різноманітних раціональних дробів. Приклади:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.