Loading AI tools
біалгебра, що допускає антипод З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Алгебра Гопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Гайнца Гопфа.
Алгебри Гопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Гопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Гопфа і проблем їх класифікації.
Алгебра Гопфа — асоціативна і коасоціативна біалгебра H над полем разом з -лінійним відображенням (що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:
Тут Δ — кодобуток біалгебри, ∇ — добуток алгебри, η — одиниця алгебри й ε — коодиниця.
У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:
Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить в означенні замінити поле на комутативне кільце ).
Означення алгебри Гопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до H (це завжди можливо якщо H є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Гопфа.
Зафіксувавши базис алгебри як векторного простору, алгебру Гопфа можна описати за допомогою структурних констант
для множення:
для кодобутку:
для антипода:
Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності
для коасоціативності має виконуватися рівність
Також для структурних констав має бути
В означенні алгебр Гопфа для антипода S часто ставиться вимога існування K-лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра H є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.
Взагалі кажучи, S є антигомоморфізмом [1], так S2 - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо S є оборотним.
Якщо , то алгебра Гопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо H — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.
Якщо біалгебра B допускає антипод S, то S є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Гопфа).[2]
Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає у . [3]
Підалгебра A алгебри Гопфа H є підалгеброю Гопфа, якщо вона є підкоалгеброю H і антипод S відображає A в A. Іншими словами, підалгебра Гопфа A - це підпростір в алгебрі Гопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо H є скінченновимірною, то натуральний A-модуль H є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Гопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Гопфа автоматично є напівпростою.
Підалгебра Гопфа A називається правою нормальною підалгеброю алгебри Гопфа H, якщо вона задовольняє умові стабільності, для всіх h з H, де приєднане відображення задане як для всіх a з A і h з H. Підалгебра Гопфа K є лівою нормальною в H якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню для всіх k з K. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод S є бієктивним. У цьому випадку A називається нормальною підалгеброю Гопфа.
Нормальна підалгебра Гопфа A в H задовольняє умові рівності підмножин: , де позначає ядро коодиниці K. З цієї умови нормальності випливає, що — ідеал алгебри Гопфа H (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Гопфа і епіморфізм , аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп. [4]
Залежить від | Кодобуток | Коодиниця | Антипод | Комутативність | Кокомутативність | Зауваження | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Групова алгебра KG | групи G | Δ(g) = g ⊗ g для всіх g з G | ε(g) = 1 для всіх g із G | S(g) = g−1 для всіх g з G | тільки коли G є комутативною | так | |
функції f зі скінченної [5] групи в K, KG (з поточковим додаванням і множенням) | скінченна група G | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | |
Функції представлення компактних груп | Компактна група G | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Гопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна).[6] |
Регулярні функції на алгебричних групах | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | Навпаки, кожна комутативна алгебра Гопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми.[7] | |
Тензорна алгебра T(V) | Векторний простір V | Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1 | ε(x) = 0 | S(x) = −x для всіх x з 'T1(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені) | Тільки якщо dim(V)=0,1 | так | Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Гопфа із відповідними означеннями |
Універсальна обгортуюча алгебра U(g) | Алгебра Лі g | Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U) | ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U) | S(x) = −x | тільки якщо g є комутативною | так | |
Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c2 = 1, x2 = 0 і xc = −cx. | K — поле характеристика якого не рівна 2 | Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1 | ε(c) = 1 і ε(x) = 0 | S(c) = c−1 = c і S(x) = −cx | ні | ні | Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Гопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними. |
Кільце симетричних функцій[8] | в термінах повних однорідних симетричних функцій hk (k ≥ 1):
Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + ... + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1. |
ε(hk) = 0 | S(hk) = (−1)k ek | так | так |
Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Гопфа: множення задано -добутком, а кодобуток
множенням групи .
Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Гопфа. Використовуючи цю структуру, Гопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.
Теорема Гопфа [9] Нехай A — скінченновимірна, суперкомутативна, кокомутативна алгебра Гопфа над полем характеристики 0. Тоді A (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.
Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто Δ = T ∘ Δ, де T : H ⊗ H → H ⊗ H — перестановка тензорних множників, задана як T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Іншими цікавими прикладами алгебр Гопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Гопфа часто називають квантовими групами.
Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Гопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Гопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Гопфа. Звідси назва «квантова група».
Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Гопфа, де H — множина, а не модуль. У цьому випадку:
В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Гопфа над полем з одного елемента. [10]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.